第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面曲面的切平面及法线).PPT

* 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 高等数学A 6.3.1 空间曲线的切线及法平面 6.3.2 曲面的切平面及法线 6.3 多元函数微分的应用 第6章 多元函数微分学 6.3 多元函数微分的应用 6.3.1 空间曲线的 切线及法平面 切线及法平面的概念 曲线方程为参数方程的情况 习例1-3 曲线为一般式的情况 习例4 6.3.2 曲面的切平面及法线 一般方程的曲面的切平面及法线 特殊方程的曲面的切平面及法线 求切平面及法线习例5-10 小结 曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线 一、空间曲线的切线与法平面 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ? 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量. 曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例 切线方程 法平面方程 即 即 解 由于 对应的切向量为 , 故 解 解 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且有 时, ? 可表示为 处的切向量为 则在点 切线方程 法平面方程 有 或 也可表为 法平面方程 切线方程 解法1 令 则 即 切向量 曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例 法平面方程 即 解法2 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 解法3 二、曲面的切平面与法线 切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直. 法线是与切平面垂直的直线. 解. 解 注意: 切平面上点的竖坐标的增量 (1) 因为曲面在M0处的切平面方程为 3.求切平面及法线习例 解 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 解 切平面方程 法线方程 *