第十章对面积的曲面积分.PPT

解 （左右两片投影相同） 例8 求均匀曲面 的重心坐标 解 由对称性 故 重心坐标为 例9 解 第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十章 一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念 实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 1.定义 其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似 ⅰ）线性性 ⅱ）可加性 ⅲ）存在性 曲面面积为 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 面积元素的计算 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域 2) 简述为：一代、二换、三投影 注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加; （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式; （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数; （4）切记任何时候都要换面积元. 例1. 计算曲面积分 其中? 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 例1 解 例2 计算 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解 在 xoy 内的投影区域 o x y z 例3 计算 z = 0 与 z = H 之间的圆柱面 解 由对称性 有 例7. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 注 对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性 对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数 完全类似于三重积分的对称性 例5 计算 解 例6