第三节：向量的内积与施密特正交化过程.PPT

二次型 二次型化标准型 一.向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积 利用坐标分别有下面计算公式：设 ， ， （设 则 设 为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。 1. 向量的内积 定义1 n维向量空间 中任两个向量 的内积定义为 并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： （交换性）; k为数（性质(2)，(3)称单线性） （ 当且仅当 。 以上证明留给读者。 定义2 设 ， 称向量 的长度。长度为1的向量称单位向量。 ，即为一单位向量。称将 单位化。 设 向量的长度有下列性质： 。 当且仅当 ； (2).齐次性： ； (3).三角不等式： 以上性质证明留给读者。 证略。 (1).非负性： (4).柯西不等式： 由柯西不等式得： 由此可定义两非零向量的夹角： ； 或 对于两非零向量 当 时，称两向量正交。这里显然等价于 又零向量与任何向量看作是正交的，且 中只要有一个为零向量，必有 因此可利用内积定义两向量正交。 称 正交，记 。 定义3 若 因此可利用内积定义两向量正交。 。 定义4 设向量组 为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。 如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足 定理1 设 为正交向量组，则 是线性无关的。 例1 求与向量 都正交的向量集。 都正交的向量为 由 得齐次线性方程组 解：设与 即为与 解得 都正交的向量集 2.施密特正交化方法 是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组 使其与 等价。 ， 设 其作法分两步(1).正交化，令 ， ， ， …… 是正交规范向量组，且 等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法） 仍与 显然 (2). 单位化（规范化）：取 例2 设 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取 单位化得 3. 正交矩阵与正交变换 定义5方阵A满足 则称A为正交矩阵。由定义不难得到： A为正交矩阵 。