第四章套利和资产定价.ppt

* 第四章——套利和资产定价 * 本章简述 在第3章中我们考虑的是一个特殊的证券市场结构，即Arrow-Debreu证券市场结构。 本章从任意的市场结构出发，只作最少的假设，以探究最一般的结论。由于证券市场的重要性以及证券价格在资源配置中所扮演的关键角色，我们将重点讨论证券价格的基本性质和基本的定价原理。为之后的学习提供一个基础。 * 本章结构 4.1一般市场结构 4.2套利 4.3无套利原理 4.4资产定价的基本定理 4.5风险中性定价和鞅 4.6本章小结 * 4.1一般市场结构 A 复合证券 在一般市场上绝大多数证券在不止一个状态下有支付。这些证券有时也叫复合证券(composite security)，从概念上它们的支付都可以看成是由状态或有证券的组合产生的。记n=1，…，N为市场中交易的证券，每一证券有支付向量为 * 那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定： * B 冗余证券 给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券j，它的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令 为剔除证券j后的支付矩阵， 这里xn是证券n的支付向量。很明显，由原来N只证券的组合所生成的任意支付也可以由剔除了证券j以后的N-1只证券组合产生。 * 令θ为所有N只证券组成的组合，而 是剔除j以后的N-1只证券的组合。已经假设xj是由其他x的线性组合。因此存在 使得 也就是说，用其他证券的支付可以复制证券j的支付。现在考虑由任意θ生成的支付。 括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的组合。因此没有它我们也可以生成相同的支付。所以证券j也称做冗余证券(redundant security)。 * C 证券市场的不同描述方式 在我们对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立支付的证券。这就意味着X当中的证券数目不会超过Ω。因为X是满秩的（t它的N列是独立的），它的秩必须是N和Ω中最小者：rank（X）=min{N，Ω}=N。 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性独立的组合。记为θ1，…，θN。此时我们可以把没个组合当作一个证券组合当成一个证券。它的支付矩阵是 * 令H≡[θ1，…，θN]，则H为（N*N）矩阵。因为各组合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的。由于rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)},rank( )≤ rank(XH)≤rank(X)，于是，rank(XH)=rank(X)=N。因而Xθ也是满秩的，为N。用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，可用这些组合来复制原始证券。H可逆。它的逆矩阵为 * 那么 ，这样我们就复制出了原始证券。同样容易证明原证券的任意组合都能这样复制： 我们可以做出如下总结：如果不存在摩擦，独立组合θ1，…，θN提供 了一个市场的等价描述。 * D 生成 现在考虑rank(X)=N=Ω的特殊情形。那么X就是一个秩为Ω的可逆矩阵。这样就能复合证券复制所有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券。 考虑一个复合证券的组合θ。 θ的支付向量是Xθ。定义1ω为Ω×1的列向量,其第ω个元素为1,其他均为0.为了复制状态ω或有证券的支付,必须有 当X可逆时,我们只要选择 定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的。 在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以由市场中的证券生成（span） * 4.2套利 记证券的价格向量为S=[S1;…;SN]，支付矩阵为X。把从X到S的映射称做资产定价关系(assert pricing relation)或资产定价模型(assert pricing model)。 考虑一个交易证券的组合，θ=[θ1，…，θN]。它在0期的价值为 ，在1期的支付向量为Xθ。证券或组合可能在未来某一状态带来负的支付。负的未来支付也叫做责任(liability)。称未来支付非负，即Xθ≥0的组合具有有限责任(limited liability)。 * 定义4.1 将满足下列条件的组合θ称做套利(arbitrage)或套利机会(arbitrage opportunity)： (1) ≤0 (2)Xθ≥0 (3)至少有一个不等式严格成立。 上面定义的套利可以分为三种类型： 第1类套利： ＜0且Xθ=0 第2类套利： =0且Xθ＞0 第3类套利： 0且Xθ0 * 第1类套利允许参与者获