状态转移矩阵的性质与计算.PPT

Ch.3 线性系统的时域分析 状态转移矩阵的性质与计算(1/1) 3.2 状态转移矩阵的性质与计算 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵, 主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的性质与计算(1/1) 3.2.1 状态转移矩阵的定义 当系统矩阵A为n?n维方阵时, 状态转移矩阵Φ(t)亦为n?n维方阵, 且其元素为时间 t 的函数 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵 当A为如下对角线矩阵: A ? diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 式中, diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵 状态转移矩阵的定义(2/4) (2) 块对角矩阵 当A为如下块对角矩阵: A ? block-diag{A1 A2 … Al},其中Ai为mi?mi维的分块矩阵, 则状态转移矩阵为式中, block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵 状态转移矩阵的定义(3/4) (3) 约旦块矩阵 当Ai为特征值为?i的mi?mi维约旦块, 则分块矩阵的矩阵指数函数为 对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数,可利用矩阵指数函数的展开式证明 状态转移矩阵的定义(4/4) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/4) 3.2.2 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义, 可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵Φ(t)具有如下性质 1) Φ(0) ? eA0 ? I 2) eA(t+s) ? eAteAs, Φ(t+s) ? Φ(t)Φ(s), 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明: 由指数矩阵函数的展开式, 有 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/4) 3) [Φ(t2?t1)]?1 ? Φ(t1?t2) 4) 对于n?n阶的方阵A和B,下式仅当AB ? BA时才成立 e(A+B)t ? eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n ? Φ(nt) 7) Φ(t2?t1)Φ(t1?t0) ? Φ(t2?t0) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(3/4) 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0) 因此, 性质 7)表明, 在系统的状态转移过程中, 既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移, 也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移, 如上图所示 系统的状态转移 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/4) 例3-3 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵 解： 对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩阵为 由于Φ?1(t)=Φ(?t), 所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为 状态转移矩阵计算(1/1) 3.3.3 状态转移矩阵计算 在状态方程求解中, 关键是状态转移矩阵?(t)的计算 对于线性定常连续系统, 该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法, 下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他两种常用方法 级数求和法 约旦规范形法 级数求和法(1/3) 1. 级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知: 矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算 由于上述定义式是一个无穷级数, 故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题 级数求和法(2/3) 显然, 用此方法计算eAt一般不能写成封闭的和简洁的解析形式, 只能得到数值计算的近似计算结果 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少 如果级数收敛较慢, 则需计算的级数项数多, 人工计算是非常麻烦的, 一般只适用于计算机计算 因此, 该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法, 难以得到计算结果的简洁的解析表达式 级数求和法(3/3) 例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 解 按矩阵指数函数的展开式计算如下: 约旦规范形法 (1/8) 2. 约旦规范形法 上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵