状态转移矩阵计算.PPT

塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(4/4) 利用上式去计算矩阵指数函数eAt的关键是如何计算待定函数?i(t)。 下面分 A的特征值互异 A有重特征值 两种情况来讨论如何计算?i(t)以及eAt。 A的特征值互异(1/4) (1) A的特征值互异 设矩阵A的n个互异特征值为?1,?2,…,?n,则矩阵A的最小多项式?(?)等于特征多项式f(?)=|?I-A|=?n+a1?n-1+…+an-1?+an。 因系统的所有特征值?i使特征多项式f(?i)=0,故与前面证明过程类似,我们亦有 其中待定函数?i(t)(i=0,1,…,n-1)与矩阵指数函数eAt的表达式中的?i(t)一致。 Ch.3 线性系统的时域分析 目录(1/1) 目 录 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结 状态转移矩阵计算(1/1) 3.2 状态转移矩阵计算 在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵?(t)的计算。 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算。 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3种常用方法。 级数求和法 约旦规范形法 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法 重点推荐 级数求和法(1/3) 3.2.1 级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知: 矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。 由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。 类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。 级数求和法(2/3) 显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果。 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式 。 级数求和法(3/3)—例3-4 例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 解 按矩阵指数函数的展开式计算如下: 约旦规范形法 (1/8) 3.2.2 约旦规范形法 上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数。 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数。 下面讨论之。 约旦规范形法(2/8) 下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有 则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系 约旦规范形法(3/8) 根据上述性质,对矩阵A,可通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。 该结论可简单证明如下: 约旦规范形法(4/8)—例3-5 例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 ?1=-1 ?2=-2 ?3=-3 2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值?1,?2和?3所对应的特征向量分别为 p1=[1 0 1]? p2=[1 2 4]? p3=[1 6 9]? 约旦规范形法—例3-5 故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为 3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有 约旦规范形法—例3-6 例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数 约旦规范形法(7/8)—例3-6 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 ?1=2 ?2=?3=-1 2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其逆阵P-1分别为 3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有 约旦规范形法(8/8)--例3-6 塞尔维斯特内插法(1/1) 3.2.3 塞尔维斯特内插法 在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理以及最小多项式的概念。 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理及最小多项式的概念,再讨论塞尔维斯特内插法。 下面依次介绍: 凯莱-哈密顿定理 最小多项式 塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数 凯莱-哈密顿定理(