线性代数第5章.PPT

第一节 方阵的特征值与特征向量 第二节 相似矩阵 第三节 实对称矩阵的对角化 得基础解系 一、相似矩阵的定义及性质 二、矩阵可对角化的条件（重点) 设A，B都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 则称 B 是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. 定义 特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的. 性质 (1) 相似关系是一种等价关系; (2) A与B相似, 则r(A)=r(B); (3) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值; (4) A与B相似, 则 ; (5) A与B相似, 则 ; (6) A与B相似, 则 与 相似; 其中 (7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。 例1 设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|. 解 所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3 例2 解 例2 a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 |A-4E|=0 |A-2E|=0 (1) 与 相似， 求x与y和A的特征值。 (2) 与 相似， 求a与b。 解 (1) A的特征值等于B的特征值为： 例3 (2) 二、矩阵的对角化（利用相似变换把方阵对角化） 定理5.2.1 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似） 有 个线性无关的特征向量。 推论1 若 阶方阵 有 个互不相同的特征值, 则 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立) 注意：这时P和对角阵是如何构成的？ 下面讨论对角化的问题 这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。 定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。 即设 是矩阵A的不同的特征值， 又设 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 则 仍是线性无关的。 引理 证 (只证两个不同特征值的情况) 设 上式两边左乘 A 得 再由 线性无关得 类似可得 由假设 得 例4 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解: 得 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 当 时，齐次线性方程组为 解： 例5、设 当x，y满足什么条件时，A能对角化？ 解 当 时， 所以，必有一个线性无关的特征向量。 解 当 时， 必须有两个线性无关的特征向量 即 x + y=0。 是 得到 的启示，如果方阵可以对角化，那么 是重根时，对应的线性无关的个数等于 设 的所有不同的特征值为 则 注： 就是 的重根数，称之为 的(代数)重数， 就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。 该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。 定理5.2.2 推论 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。 即 设 互不同，此时 则 A可对角化的充要条件是 亦即： 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征 向量的个数。 简称:几重特征值有几个特征向量. 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵可对角化的条件（重点） 性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略） 一、实对称矩阵的性质 性质1的意义 因为对称矩阵 的特征值