线性代数(复旦版)课后习题详解.doc

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PAGE 1 《线性代数》习题参考 习题一 1.解:(1). (2) (3) (4) (5) (6). 2.解:(1)对排列34215而言,3与2,1分别构成一个逆序,4与2,1也分别构成一个逆序,2与1也构成一个逆序,所以。 (2)对排列4321而言,4与3,1,2分别构成一个逆序,3与1,2也分别构成一个逆序,所以。 (3)对排列而言,与均分别构成一个逆序,其逆序数为;与也分别构成一个逆序,其逆序数为,依次类推,2与1也构成一个逆序,因此有 (4)对排列而言,3与2构成一个逆序,其逆序数为1;5与4,2分别构成一个逆序,其逆序数为2;……;分别与构成一个逆序,其逆序数为;分别与构成一个逆序,其逆序数为,……;4与2也构成一个逆序,其逆序数为1;因此有 3.解:在四阶行列式中,含因子的项只有两类,分别为和,下面分别判断这两项的符号,因为行标排列已经是自然排列,故只须计算列标排列的逆序数。因为,,所以含的项分别为和。 4.解:(1) (2) (3) (4) . (5) . (6) . (7) . (8) . 5.证明:(1) . (2) (3) 6.解:(1)因为是方程的3个根,那么必然满足,将其展开得 , 由对应项系数相等可知, 即 因此 (2)在此四阶行列式中,能出现的因子的项只有。由于行标排列已是自然排列,故只须判断列标排列的逆序数,即,所以的符号为负,因此的系数是。 (3)由定理4.1知 (4)由定理4.1可知 7.解:(1) (2) . (3) . (4) . 8.解:(1) 故 (2) 故. 9.解:齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式 由得或. 习题二 1.解: 2.解:(1) (2) (3) (4) (5) (6). 3.解:(1) (2) (3) 4.证明:(1) 设矩阵,则根据矩阵的加法与乘积的定义有 矩阵中第行第列的元素 矩阵中第行第列的元素 由此可以看出,矩阵和中的元素一一对应相等 因此有 (2)设矩阵,则根据矩阵乘积的定义有中第行第列的元素 且中第行第列的元素 因此 . 5.证明:(1) 设对角矩阵,,则有 仍为对角矩阵 因此,对角矩阵与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。 (2)设上三角阵,,则 可以看出,仍为上三角阵 因此,上三角阵与上三角阵的乘积仍为上三角阵 同理可证,下三角阵与下三角阵的乘积仍为下三角阵。 6.解:设与可交换的矩阵为,则 , 由可知,这两个矩阵各行各列的元素分别对应相等,根据所得的九个方程可得 , 因此,所有与可交换的矩阵为,其中。 7.解:当和可交换时,下列等式成立。 (1) (2) 8.解:(1) (2)因为,,,, ,,, 由此可以看出, 当时, 当时, 当时, 当时, 其中。 (3)因为 所以,当为偶数时,;当为偶数时,。 (4) (5)因为,, ,所以 (6)因为,, ,, 由数学归纳法可以证明,。 9、解:,,所以 10、解:设,,则 ,又因为,,所以 11、解:(1) (2) 12、证明:用数学归纳法证明。当时,等式显然成立。假设当时等式成立,即 当,有 所以当时,结论成立,因此 13、证明:(1)因为都是阶对称矩阵,所以有 因此 故是对称矩阵,是反对称矩阵。 (2)因为, 所以是对称矩阵,也是对称矩阵。 14、证明:因为为对称矩阵,所以 故也是对称矩阵。 15、解:(1)经计算,知可逆,且 ,故 (2)经计算,知可逆,且 故 (3)经计算,知可逆,且 故 (4)经计算,知可逆,且 故 16、解:(1) (2) (3) (4)由得,即 17、解:由,得 从而 所以 18、解:由,得,从而 19、解: 20、解: 21、证明:(1)充分性 设,则 必要性设,因为,所以 从而,即 (2)假设当时,是可逆矩阵,则存在矩阵,使得 由(1)知当时有,对其两边同时右乘,得,即,从而,这与是的非零列矩阵相矛盾,故当时,是不可逆矩阵。 22、证明:(1)由,得,故,因此可逆,且,由知,也可逆,且。 (2)由,得,同取行列式,得,从而或,所以与中至少有一个是奇异方阵。 23、解:由,得 即 ,所以 24、证明:由知,即,所以可逆,且 25、证明:用数学归纳法证明。当时,等式显然成立。 假设当时等式成立,即 当时,有 此时结论也成立,因此当为正整数时有。 26、解:因为,且 而易求得 故 27、解(1) (2) 28、证明:(1)

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