线性方程组的解 .PPT

上页 下页 目录 ③ 当 时， 方程组有无穷多解. 与原方程组同解的方程组为 取 x2 = k1, x3 = k2 ，得 (k1, k2 为任意常数) 上页 下页 ㈡ 矩阵方程 Am?nXn?s=Bm?s 目录 上页 下页 目录 即，矩阵方程 AX=B 可拆分为若干线性方程组. 【 矩阵方程 Am?nXn?s=Bm?s 的求解步骤 】 Am?nXn?s=Bm?s 对 A 按 1?1 分块，对 X 和 B 按列分块，有 上页 下页 目录 将 化为行阶梯形， 于是，Axi=bi 和 Cxi=di 是同解方程组. 从而， . 这些方程组 Axi=bi 的求解可同时进行： 讨论 已知 AB=O，根据上述讨论，可得出什么结论？ 答：B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解; AT 的每一列都是齐次线性方程组 BTx=0 的解. 上页 下页 目录 例 3 解矩阵方程 AX=B，其中 解 Ax1 = b1, Ax2 = b2 (两个线性方程组) A(x1,x2) = (b1,b2) 对 AX=B，将 A 按 1?1 分块，将 X 和 B 按列分块， 将( A, b1 , b2) 化为行最简形： 由题意可知，X是 3?2 矩阵，设 上页 下页 目录 令x32=q，得 根据行最简形，Ax1=b1, Ax2=b2的同解方程组分别为 (I) (II) 令 x31=p， 得 上页 下页 目录 于是，矩阵方程的解为 (其中 p, q 是任意实数) 第四节 线性方程组的解 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 ? 小结 思考题 作业 ㈠ 线性方程组的解的判定条件 ㈡ 矩阵方程 Am?nXn?s=Bm?s 目录 上页 下页 ㈠ 线性方程组的解的判定条件 上页 下页 目录 【非齐次线性方程组 Am×n x=b 】 用初等行变换，将 Am×n x=b 的增广矩阵 (A, b) 化为行阶梯形 (C, d)，即 于是，R(A)= C 的非零行行数, R(A, b)= (C, d) 的非零行行数； 并且，Ax=b 和 Cx=d 是同解方程组. 设行阶梯形 (C, d) 中的 C 有 r 个非零行，如下图所示 上页 下页 目录 第 r+1 行 r 个非零行 dr+1 = 0 Ax=b 有解 上页 下页 目录 dr+1 = 0, 且 r=n Ax=b 有唯一解 n 个非零行 此时，行阶梯形矩阵的形式为 上页 下页 目录 dr+1 = 0, 且 rn Ax=b 有无穷多解 r 个非零行 (rn) 此时，行阶梯形矩阵的形式为 上页 下页 目录 定理 1 对于 非齐次线性方程组 Am?nx = b， ① 有解的充分必要条件： ③ 有无穷多解的充分必要条件： ② 有唯一解的充分必要条件： 综合上述，有如下定理： (等价命题)无解的充分必要条件： 注 n 是系数矩阵 A 的列数 (即未知量的个数). 注 由于 R(A) ? R(A, b)，故 R(A) ? R(A, b) R(A) R(A, b). 上页 下页 目录 例 1 对于非齐次线性方程组 解 问 ? 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解. 上页 下页 目录 先考虑它们不等于 0 时 ? 的取值，再讨论 ? 的其它取值. 上页 下页 目录 ① 当 时， 方程组有唯一解. ② 当 时，代入上式 方程组无解. 上页 下页 目录 ③ 当 时， 方程组有无穷多解. 与原方程组同解的方程组为 取 x2 = k1, x3 = k2 ，得 上页 下页 目录 (k1, k2 为任意常数) 错误：对增广矩阵(或系数矩阵)一般不能用初等列变换（初等列变换虽然不会改变矩阵的秩，但可能会改变方程组的解.） 说明 (1) 常见错误： 上页 下页 目录 (2) 本例中系数矩阵 A 是方阵，故也可用克拉默法则， 当 或 时，将增广矩阵化为行阶梯形，并讨论方程组的解. 即， 且 时方程组有唯一解. 上页 下页 目录 【齐次线性方程组 Am?nx=O 】 因为 R(A) ? R(A, 0)，根据定理 1， Ax=0 总是有解. 齐次线性方程组 Ax=0 的常数项全为零. ① Ax=0 有唯一解(即零解) R(A) ? R(A, 0) =