第3章雅可比矩阵和动力学分析.PPT

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定义: 末端广义力矢量:机器人在外界接触处产生力f和力矩n,记做: 在静止状态下,F 应与各关节的驱动力或力矩平衡。 关节力矢量:n个关节的驱动力矩组成n 维矢量: 假定关节无摩擦,并忽略各杆件的重力,广义关节力矩?与机器人手部端点力F的关系为: 力雅可比矩阵 力雅可比JT是工业机器人速度雅可比J的转置。 利用虚功原理证明。 设各个关节的虚位移为?qi,手部的虚位移为?X。 手部及各关节的虚位移 X0 Y0 O0 ?i ?qi -nn,n+1 -fn,n+1 d ? 式中: d=[dx dy dz] T, ?=[??x ??y ??z]T 对应于手部的虚位移和虚角位移(作业空间) ?q=[?q1,?q2…?qn] T 为各关节虚位移?qi组成的机器人关节虚位移矢量 (关节空间) 设各关节力矩为?i(i=1,2,…,n) 环境作用在机器人手部上的力和力矩为-fn,n+1和-nn,n+1 根据虚位移原理,各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功相等。 即:?1?q1+?2?q2+…+?n?qn= fn,n+1d + nn,n+1? 简写成: ?T?q = F T?X 虚位移?q和?X符合杆件的几何约束条件。 有: ? X=Jdq, 代入?T?q = F T?X 有:?=JTF JT 称为机械手的力雅可比。 表示在静态平衡状态下,操作力向关节力映射的线性关系。 Y0 ?1 F Fx Fy ?1=0 X0 ?2=90? l1 l2 ?2 (b) X0 ?1 ?1 l1 ?2 ?2 l2 F=[Fx,Fy]T (a) Y0 例2 图示为二自由度平面关节型机械手,已知手部端点力F=[Fx,Fy]T,若关节无摩擦力存在,求力 F的等效关节力矩。 另求当?1=0,?2=90? 时的等效关节力矩。 解: 由前面推导知,该机械手的速度雅可比为: 则该机械手的力雅可比为: 根据?=JTF,得: ?1 = -[l1sin?1+ l2sin(?1+?2)]Fx +[l1cos?1+ l2cos(?1+?2)]Fy ?2 = -l2sin(?1+?2)Fx+ l2 cos(?1+?2)Fy 当?1=0,?2=90? ?1=-l2Fx+ l1Fy , ?2=- l2Fx 机器人动力学研究各杆件的运动和作用力之间的关系,是机器人设计、运动仿真和动态实时控制的基础。 机器人动力学问题有两类: 动力学正问题——已知关节的驱动力矩,求机器人系统相应的运动参数(包括关节位移、速度和加速度)。 动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度,求出所需要的关节力矩。 3.3 机器人动力学分析 机器人是由多个连杆和多个关节组成的复杂的动力学系统,具有多个输入和多个输出,存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。 采用的方法: 拉格朗日(Lagrange)方法 牛顿—欧拉方法(Newton-Euler)方法 高斯(Gauss)方法 凯恩(Kane)方法等。 拉格朗日方法以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程,而且具有显式结构,物理意义比较明确,对理解机器人动力学比较方便。因此,本节只介绍拉格朗日方法,并结合简单实例进行分析。 机器人动力学问题的求解比较困难,而且需要较长的运算时间。因此,简化求解的过程,最大限度地减少机器人动力学在线计算的时间是持续研究的课题。 一、拉格朗日方程 1. 拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能Ek和势能Eq之差,即: L=Ek - Eq 令qi(i=1,2,…,n)是使系统具有完全确定位置的广义关节变量, 是相应的广义关节速度。 由于系统动能Ek是qi和 的函数,系统势能Eq是qi的函数,因此拉格朗日函数也是qi和 的函数。 2. 拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为: i=1,2,…,n 式中,Fi称为关节i的广义驱动力。如果是移动关节,则Fi为驱动力;如果是转动关节,则Fi为驱动力矩。 3. 建立机器人动力学方程步骤 (1) 选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量qi(i=1,2,…,n) (2) 选定相应的关节上的广义力Fi,当qi是位移变量时,Fi为力;当qi是角度变量时,Fi为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程 l1 k1 m2 k2 m1 ?2 ?1

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