第4章稳定性与李雅普诺夫方法2.PPT

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【例 4-5】已知系统的状态方程,试分析平衡状态的稳定性。 解:线性系统,故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到: 取标量函数(李雅谱诺夫函数): 且当 时, , 4.3 李雅普诺夫第二法 半负定,不恒为0,渐近稳定。 所以系统在其原点处大范围渐近稳定。 * 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设系统的齐次状态方程为: 设其在初始条件 下,有唯一解 那么,此解实际上描述了系统在n维空间中从初始状态 出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。 其中,x 为 n 维状态向量, 为n维向量函数。 如果系统是定常的,则不显含 t; 如果系统是线性的,则 f 为 Ax 平衡状态不一定存在,也不一定唯一。 如: 其平衡状态有: 稳定性是相对于平衡点而言的! 平衡状态:若存在状态向量 ,对所有t,都有 成立,则称 为系统的平衡状态。 如果 ,且 A非奇异,则原点是系统唯一的平衡状态。 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 4.1.2 稳定性的几个定义 定义 欧氏范数: 称为 向量的欧氏范数。 超球域 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 1. Lyapunov意义下的稳定 系统中, 对任意 ,若存在 , 使得,当 , 时 ,有 则称平衡状态 为李雅普诺夫意义下稳定的。 若 的选取与初始时刻无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。 4.1.2 稳定性的几个定义 2. 渐近稳定 如果 是李雅普诺夫意义稳定的, 并且 则称 是渐近稳定的。 4.1.2 稳定性的几个定义 若 ,则称 为大范围(全局)渐近稳定。 3. 大范围渐近稳定 如果平衡状态 是渐近稳定的,且渐近稳定的最大范围是整个状态空间,则 为大范围渐近稳定的,其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。 线性系统:渐近稳定 大范围渐近稳定 非线性系统:一般小范围渐近稳定 4.1.2 稳定性的几个定义 对于某个实数 和任意 ,在超球域 内始终存在状态 ,使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。 4. 不稳定 4.1.2 稳定性的几个定义 此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。 4.1.2 稳定性的几个定义 4.2 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法。 基本思路是通过状态方程的解来判别系统的稳定性。 线性定常系统:由特征方程的根来判断稳定性。 非线性系统:先线性化,再判别。 线性定常系统 , 在平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。此为状态稳定性,或称内部稳定性。 4.2 李雅普诺夫第一法 4.2.1 线性系统的稳定判据 如果 ,则 渐近稳定; 输出稳定性:如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的,则称系统为输出稳定。BIBO稳定(Bounded Input Bounded Output) 4.2.1 线性系统的稳定判据 输出稳定性判据:线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数 的极点全部位于s平面的左半部。 【例4-1】 解:(1)由A的特征方程 故系统的状态不是渐近稳定的。 (2)系统的传递函数: 故系统是输出稳定的。 结论:系统状态稳定 系统输出稳定。 系统输出稳定,且能控能观 系统状态稳定

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