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第十二章 气体动理论 12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程 物理学 第五版 * 气体分子的平均速率: 例: 氮气分子在27 oC时的平均速率约为 473 m/s —— 说明在室温下，气体分子热运动的平均速率很高。 实际上，气体的扩散过程进行的相当慢。 克劳修斯最先提出了“分子间相互碰撞”的概念，指出：这是因为分子的运动并不是畅通无阻的，而是频繁的受到其它分子的碰撞，致使其路程变得迂回曲折所造成的。 一、分子间的碰撞与无引力的弹性钢球模型 * 斥力 引力 合 力 分子间的相互作用： 斥力 引力 两分子相碰的经典模型： 匀速直线运动 减速 加速 返回 分子间的最小距离d与分子的初动能有关，其统计平均值，叫做分子的有效直径。 0 r Ep r0 * 无引力的弹性钢球（另一种气体微观模型） 两个分子之间的势能与它们质心之间距离的关系为： 当 r d 时，Ep = 0 当 r ≤ d 时，Ep = ∞ 0 r Ep d 与理想气体微观模型相比： (1) 同样忽略了分子间的引力， (2) 考虑了分子体积，即考虑了分子斥力起作用时两分子质心间有一定的距离。 分子间碰撞 —— 视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞。 * 二、分子的平均碰撞频率 为表示分子间相互碰撞的频繁程度，引入分子碰撞频率的概念。 平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间内与其它分子相碰的次数，用 表示。 推导平均碰撞频率的公式：追踪一个分子A，计算单位时间内A与多少个分子相碰。 将除A以外的其余分子视作为静止的，在A的运动过程中，其球心轨迹是一系列折线。 只要其它分子的球心离开折线的距离 ≤ d，必将与分子A发生碰撞。 以A的球心的运动轨迹为轴，以有效半径d 为半径作一个曲折的圆柱体。 将曲折圆柱体折合成一个直圆柱体，柱体的截面 叫做分子的碰撞截面。 * 设A以平均相对速率 运动，则在时间 t 内，分子A走过的平均路程为： 在时间t内，相应圆柱体的体积为： 以n表示气体分子数密度，则此圆柱体内的气体分子总数为： 于是，分子的平均碰撞频率是： 对实际气体分子的运动按麦克斯韦速率分布律修正后，有： 因此，气体分子的平均碰撞频率为： 的大小与气体的种类和所处的状态有关。 * 三、分子平均自由程 从另一侧面描述气体分子间发生碰撞的频繁程度，引入分子平均自由程的概念。 分子平均自由程：分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的平均值，用 表示。 时间t内，分子平均走过的距离： 时间t内，分子的平均碰撞次数： 根据定义，平均自由程为： 当分子大小与分子数密度一定时，平均的说，分子走多远碰撞一次是确定的，而不论分子运动的快慢如何。运动的快，仅是在相同时间内碰撞次数多。 分子平均自由程的大小由气体种类和所处的状态决定。 * 将理想气体物态方程 带入平均自由程，得到 与气体状态参量间的关系： 给定气体温度时，气体压强越大（气体越密集），分子的平均自由程越短，反之，气体压强越小（气体越稀疏），分子平均自由程越长。 常温常压下，气体每秒平均碰撞次数的量级为 109 ~ 1010 s-1，平均自由程的量级是10-8 ~ 10-7 m，为分子有效直径的数百倍。 当压强p很小，数密度n很小时，若计算得到的平均自由程 容器线度，则此时 = 容器线度。 * 例：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，那么，平均自由程如何变化？ 不 变 * 例：计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d = 3.10×10-10 m，已知空气分子的平均分子量是29. 解：已知T = 273 K，p = 1.0 atm = 1.013×105 Pa， d = 3.10×10-10 m 空气的平均分子量是29，因此，空气分子在标准状态下的平均速率为： 空气分子的平均碰撞频率是： * 例：试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程:（1）273 K、1.013×105Pa 时; （2） 273 K 、1.333×10-3 Pa时. （空气分子有效直径 d = 3.10×10-10 m） 解：气体分子的平均自由程： （1）在 T=273 K，p = 1.013×105 Pa 时: （2）在 T=273 K，p = 1.33