线性方程组的解.PPT

§3 线性方程组的解 一、线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ． 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 二、线性方程组的解的判定 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的． 问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一定相等！ 定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 分析：只需证明条件的充分性，即 R(A) R(A, b) 无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) n 无穷多解． 那么 无解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解 R(A) = R(A, b) n ． 证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为 第一步：往证 R(A) R(A, b) 无解． 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解． R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)＋1 前 r 列 后 n - r 列 前 n 列 前 r 列 第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解． 后 n - r 列 则 dr+1 = 0 且 r = n， 对应的线性方程组为 从而 bij 都不出现. 前 r 列 n 列 第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解． 则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现. 即 r = n， 前 r 行 后 m－r 行 后 n - r 列 n 行 对应的线性方程组为 后 m－n 行 第三步：往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解． 若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为 前 r 列 则 dr+1 = 0 . 后 n - r 列 即 r n ， 令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则 线性方程组的通解 例：求解非齐次线性方程组 解： R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解． 备注： 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时 还能根据 R(A) = R(A, b) = r n 判断该线性方程组有无限多解吗？ x1 x2 x3 x4 x1 x2 x4 x3 同解 返回 解（续）： 即得与原方程组同解的方程组 令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ． 例：求解非齐次线性方程组 解： R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解． 例：求解齐次线性方程组 提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形 矩阵？ 答：因为齐次线性方程组 Ax = 0 的常数项都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(