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例谈完全平方公式一组推广公式在初中数学竞赛中应用 摘要：完全平方公式是初中数学里一个非常重要的 公式，也是初中各类数学竞赛关注的热点.关于完全平方公 式的文章已有很多，但对完全平方式的推广公式在竞赛中的 应用没有涉及，通过对近年来各类初中数学竞赛中出现的相 关试题做出分析与总结，谈谈完全平方式的推广公式解初中 数学竞赛题中的应用，仅供参考. 关键词：完全平方公式；数学竞赛；推广公式 由两个基本的公式：(a+b ) 2=a2+2ab+b2与(a_b ) 2=a2-2ab+b2,我们可以推广得到以下一组公式： (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (1) (a+b )2+( b+c )2+( a+c) 2-2 (a2+b2+c2 )+2( ab+bc+ac ) (2) (a_b )2+( b_c )2+( a-c ) 2-2 (a2+b2+c2) ~2 (ab+bc+ac) (3) (a2+b2) (c2+d2) = (ac+bd) 2+ (ad~bc) 2= (ac-bd) 2+ (ad+bc) 2 (4) 由(1)可得：a2+b2+c2= (a+b+c) 2~2 (ab+bc+ac) (5)由(2)-(1)得：a2+b2+c2二(a+b) 2+ (b-c) 2+ (a+c) 2- (a+b+c) 2 (6) 由(3) + (1)得：a2+b2+c2=?[(a_b) 2+ (b_c) 2+ (a~c) 2+ (a+b+c) 2] (7) 由(2) + (3)得： a2+b2+c2-H [ (a+b) 2+ (b+c) 2+ (a+c) 2+ (a_b) 2+ (b_c) 2+ (a_c) 2] (8) 灵活选用以上公式，可以简单、快速地求解一些竞赛题, 下面请看一些例子. 例1?有3个正整数a, b, c,且abc,从中任取2个 有3种不同的取法，将每种取法取出的2个数分别作和与作 差,得到如下 6 个数:42, 45, 64, 87, 109, 151,则 a2+b2+c2二 ()(2013 “希望杯”初二第2试) A.12532 B.12533 C. 12534 D.12535 解析：由于本题是求三个整数的平方和，且题目给出了 三个数中任意两个的和与差，满足公式(8),直接利用公式 (8)可得： a2+b2+c2-H [ (a+b) 2+ (b+c) 2+ (a+c) 2+ (a_b) 2+ (b-c) 2+ (a-c) 2] 二■[ (422+452+642+872+1092+1512)] =■ (1764+2025+4096+7569+11881+22801) =12534 故正确选项为C. 评注：通过以上解析过程可以发现，此解法根本不需要 a, b, c为正整数及abc这两个条件，事实上，只要知道 这三个数中任意两个的和与差即可求出它们的平方和。出题 者可能是考虑到有些学生可能想不到这个公式，因此加上这 两个条件，引导学生从三个整数的大小关系入手，结合作和 与作差所得的6个整数进行逻辑分析，求出a, b, c的值， 然后代入计算得出答案。虽然也能得到正确解答，但是如果 能从整体上把握题目特征，利用变形公式求解，就显得简单、 明快. 例2.已知实数a , b , c满足a2+b2+c2=49 , a+b+c=a3+b3+c3=7,求 a, b, c 的值. 分析：由已知条件联想到公式(a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ac,然后获得解题思路. 解:?.?a2+b2+c2二49 , a+b+c二7 , ( a+b+c ) 2二a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即 49二49+2ab+2bc+2ac, ?I ab+bc+ac=O,从而可得： a2b+a2c=~abc, ab2+b2c=-abc, ac2+bc2二-abc, 7=a3+b3+c3= ( a+b+c ) ( a2+b2+c2 ) - (a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2) =7X49+3abc, ?Iabc=-112. 评注：解答本题的关键在于根据条件联想到公式，然后 构造相关代数式求解?把此题稍加改变，就得到下面这道竞 赛题： 例 3.若实数 a, b, c 满足 a+b+c二2, ab+bc+ac=O, abc=-l, 则a3+b3+c3=?(18届“华杯赛”初一) 分析：由已知条件联想到公式(a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,从而求出 a2+b2+c2,然后再构造 代数式a3+b3+c3求解. 解： T a+b+c二2 , ab+bc+ac=O , ( a+b+c ) 2二2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ?:a2+b2+c2=4, 从而 a3+b