斐波那契数列与黄金分割讲义.ppt

* 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，… 是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为1、1。 次简单的为1，3，4，7，11，18，… 现称之为卢卡斯数列。 卢卡斯数列的通项公式是 * 推广的斐波那契数列与斐波那契数列 一样，与黄金分割有密切的联系：该数列 相邻两数之比，交替地大于或小于黄金 比；并且，两数之比的差随项数的增加而 越来越小，趋近于0，从而这个比存在极 限；而且这个比的极限也是黄金比 。 * 类似于前面提到的数列 其极限也是 * 2） 用斐波那契数列及其推广变魔术 ① 让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。 其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 … * “十秒钟加数”的秘密 数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！ 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 ?? 所以右式的答案是： 21 ? 11 = 231 * “十秒钟加数”的秘密 又例如： 右式的答案是： 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? 610 ? 11 = 6710 * ② 让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速说出“这条线之前所有各数”的和。 其实有公式：前 项和 = 表示卢卡斯数列的第 项。 (请大家课下自己制作) * 6． 斐波那契数列的一些更深刻的性质 1） 通项公式 一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数 的式子表达，这是十分意外的结果。 该证明由法国数学家比内（Binet）做出。 [南开大学数学学院学生吴云辉、李明昱曾经在 “数学文化”课的读书报告中，给出了这一通项公式的 多个证明] * 2） 斐波那契数列的后项除以前项做 成的分数数列 的极限为黄金 比的倒数 称为第二黄金比。 即有 * 本节结束 谢谢 * * [思] 请构造一个3阶递推公式。 答： 例如 * * 斐波那契数列的有趣特性 数学家发现了许多斐波那契数列的特性。例如： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … 第3、6、9、12等项的数字能被2整除。 第4、8、12等项的数字能被3整除。 第5、10等项的数字能被5整除。 其余依此类推。 * 从斐波那契数列体味数学文化 要善于从生活中发现问题 解决问题，首先要明确概念，提炼其精髓 采取合适的方法（如列表）是关键 善于总结，从而得出一般规律（这里，建立了二阶递推公式） * 斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250） * 2） 列表解题 ① 分析、抓住本质、简化。 题中本质上有两类兔子：一类是能生 殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不 能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就 长成大兔子。求的是大兔子与小兔子的总 和。 * 2） 深入观察规律 ① 每月小兔对数=上月大兔对数。 ② 每月大兔对数等于上个月大兔对数 与小兔对数之和。 综合①②两点，我们就有：每月大兔 对数等于前两个月大兔对数之和。 列表观察，不仅解答了问题，而且找 到了规律。 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * * 3． 方程 的正根是 4． 黄金矩形的宽