时间标度上时滞动力方程的振动性和偏差分方程正解的存在性.pdfVIP

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第一章前言 微分方程振动理论是方程定性理论的一个重要分支.自1836年Sturm研究 热传导方程时首次提出二阶线性常微分方程的振动问题以来,常微分方程的振 动理论已有很久的历史,有关专著见【1-3].常微分方程的振动理论只是研究瞬时 状态下解的特性,但在许多科学领域的研究中,例如生态数学、经济数学、动力 学、自动控制、通讯理论等等,有许多事物的变化规律不仅依赖于当时状态,还 依赖于过去或以后的状态,这就产生了泛函微分方程的振动理论.在泛函微分方 程振动理论上,第一篇有影响的论文是文献【4】但直到20世纪80年代以来,这 一理论才有了迅速发展, 1977年以来连续出版了有关泛函微分方程振动理论的 专著6本【5—101.泛函微分方程振动理论与常微分方程振动理论的区别在于前者 重点揭示了时滞变元引起解的振动性与非振动性. 差分方程振动理论在定性理论中同样具有重要意义.自20世纪80年代人 们在差分方程中引入泛函微分方程的方法以来,特别地, 1988年张炳根在美国 Ohio国际会议上的报告【11】,首次提出时滞差分方程振动性与非振动陛研究后, 一大批数学家转向时滞差分方程的定性研究,这一领域的专著有f12.14】,其中专 著【14】介绍了近年来国内外在时滞差分方程振动理论方面新的研究成果.最近 几年,张炳根与郑穗生和刘树堂等人合作又开创了泛函偏差分方程振动理论的研 究,并取得一系列成果【15—18I.这些成果迅速引起了国内外学者的广泛关注,并 使这一新的学术领域在国内外得以快速地发展,目前在国际文献中这一领域的论 文已有近百篇.广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础.事实上,随着 科学技术的不断发展,人们需要处理越来越多的多变量系统及多维信号,例如多 维数学图像综合处理、地震监测数据处理、卫星气象云图的扫描和分析等诸多学 科领域,都涉及到泛函偏差分方程的模型.所以对于泛函偏差分方程定性理论的 研究不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的实际应用价值.然而,从定性 理论方面来研究泛函偏差分方程,1994年以前,在国内外一直是一个空白.正 因为如此,文章【16一181的出现便引起国内外学者的极大兴趣,并在这些成果的 基础上又得到一些好的结果如【36—41]. 在泛函偏差分方程振动理论中我们用到下面主要的概念:设双指标序列{z。。) 是泛函偏差分方程的解,若对于充分大的正整数m}n,有∞。,0,则称{z。,。) 是最终正的.若有z。,。0,则称{。。,。)是最终负的,若扛。,。)既不是最终正 的又不是最终负的,则称序列{z。,。)是一个振动解,并且从此定义我们可以看 到,解的振动和非振动性质是无穷远点领域中解的性态. 以前在方程振动性与非振动性的研究中都是分连续和离散两种不同的情况. 能否把这两种情况统一起来,一直是数学工作者的难题. 1988年,Stef目n Hitger 在他的博士论文(19】中首次介绍了时间标度(TimeScales)理论,这一理论统一了 连续和离散,同时,也包括更多种情况.由于其广泛的应用价值,事实上,在现实 生活中很少有总是连续或离散的情况,往往是连续和离散共存,故这一理论一出 现,便引起数学工作者的广泛注意,从而开辟了数学研究的新领域. 2001年, Martin Bohner和Allan Peterson在专著f20]中详细介绍了时间标度上常动力方程 振动理论,这一理论可以把微分方程和差分方程的振动性统一起来进行研究,揭 示了连续和离散的本质,避免了重复研究,而且它还包括更多种情况.因为时间 标度理论的显著特点是统一和推广,所以,对这一理论的研究有其重要的理论意 义和现实意义. 以下就与本文直接有关的问题作一简要概述。 一. 时间标度_h--阶非线性时滞动力方程的振动性 目前,文章[21J利用研究微分方程振动性方法,研究了时间标度上一阶时滞 动力方程 z60)+p0)z(rQ))=0 的振动性,这是当前唯一一篇研究时间标度上时滞动力方程的论文,这一成果说 明研究时滞动力方程是可行的. 在f22】中,作者考虑了时滞微分方程 ‘ (z(t)一z0一r))(“)+p(t)。0一口)=0 和常微分方程

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