偏导数的定义.ppt

多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 三、高阶偏导数与高阶全微分 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 问题: 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 定理3 证明： 作辅助函数 于是有 证毕。 解 一、偏导数的定义 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 解： 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续。 连续。 偏导数存在 连续. 偏导数的几何意义 如图 几何意义: 二、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 全增量的概念 全微分的定义 事实上 即 证 总成立, 同理可得 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如， 微分存在． 全微分存在． 则 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。 证 同理 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 解 (2, 1) 处的全微分 它们均连续。因此，函数可微分。 例5. 解： 解 所求全微分 证 （1） 令 总结： 练习