波利亚的解题理论.pptx

波利亚解题理论 没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。 ——[美]G. 波利亚 *波利亚的生平 *波利亚的数学教育观 *波利亚关于解题的研究 美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，就显示出卓越的数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。1912年在布达佩斯获约特沃斯·洛伦得大学哲学博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。 波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学的发现》多卷、《数学与猜想》多卷、《数学分析中的问题和定理》(与塞格合著)、《数学物理中的等周不等式》(与塞格合著)等。 波利亚在众多的数学分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(Distinguished Services Award),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(Top Honor of Mathematics and Physics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。 一、波利亚的数学教育观 1、中学数学教育的根本目的：“教会学生思考”； 2、教师教学应遵循学习过程的三个原则： 主动学习：“学东西的最好方式是发现它” 最佳动机：对所学知识的兴趣 循序渐进：探索，阐明，吸收 3、数学教师具备两方面的知识：数学内容知识； 数学教学法知识； 一、波利亚的数学教育观 4、给数学教师的十条建议： 1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜,尽量让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受. 二、波利亚关于解题的研究 解题过程分为以下四个阶段: 1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾 1 、弄清问题 （1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开,并把它们写下来. 2、拟定计划 （1）考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? （2）考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. （3）能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? （4）能否用不同的方法重新叙述它? （5）回到定义去. （6）如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. （7）是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念? 3. 实现计划 （1）实现你的求解计划,检验每一步骤. （2）你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的? 4、回顾 （1）能否检验这个论证? （2）你能否用别的方法导出结果? （3）能不能一下子看出它来? （4）能不能把这结果或方法用于其他问题? 例 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，点P为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值． 解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值． 第2拟订计划 回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关的问题： (1)已知三角形的某些边