廿一世紀的數學展望.ppt

對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具， 但是 運用之妙 存乎一心 在于作者的經驗和直觀。 廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的 物理基本現象與非對稱的世界聯合？ Symmetry breaking 眾生色相 何由而生？ 基本的物理定律是Time Symmetric的，為何我 們擔憂時光消逝？因为直觀世界是Time Symmetric 的。由Time Symmetric的定律來解釋直觀世界是現 代數學和物理的一個重要問題。 熱力第二基本定理說 Randomness 隨時間而增 Entropy increase with time 這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的 瞭解。 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題 目。Roger Penrose 和 Hawking都花了很多時間討 論。這是因為Einstein方程對時間來說是對稱的，然 而在現實世界，時間是不對稱的。 熵的研究在現代物理和現代數學都起了極重 要的作用。 湍流的問題，將是其中一個例子。 流体力学中的奇异点和boundary layer 都需要 大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解 释。 在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現 象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。 但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産 生，同時起着無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的 波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一 切分析和應用數學的精華。 Superposition是線性方程的特微，在研究非線性integrable方程時，也由非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。 由Stationary的物理現象到Dynamical的物理現象，我們會遇到極為困扰而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。 高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。 很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網絡極為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸數學極有意義的問題。 圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚的用途需要數學傢密切合作。 在某種意義下，基本的方程式或基本的 物理現象，用數學形式表達出來時，是用等 式來表達。 但往往在澈底研究這種等式以前，不等 式會産生，同時起着無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光 滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等 式。也是一切分析和應用數學的精華。 研究應用數學的方法 Modeling 實驗 數字計算，統計 物理 應用需要 分析 純數學，方程，統計 物理，化學，生物 理論 應用 當微分方程和幾何和組合數學，真正大 統一時，應用數學會有大進步。 有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創 造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解 不同的數學分枝。 數學在工業上的應用 工業問題，科學觀察實驗 統計，分析處理 理論，模型 計算，程序 應用 預測 控制 優化 仿真 設計 單靠程序和計算的數學即使有短暫的生 長力量，不會有深遠的影响。 如何解釋由計算得出來的現象，如何與 物理和工程的現象相吻合，如何利用計算結 果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。 因此理想的應用數學家，應該有數學家的根 基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。 數學提供應用數學幾個重要工具 概率，隨機分析 組合理論 代數(Coding理論) 幾何(圖像處理，壓縮) 分析 微分方程 調和分析，Fourier分析 小波分析 動力系統 由於應用科學的產生，所有連續性的數 學理論或