可积系研究和组合计数方法讲义.pptx

可积系研究和组合计数方法; 十分感谢朱佐农教授给了我一个很难得的机会向在座各位老师和同学学习交流。 胡星标研究员最近在讲课中提到可积系研究中的一些有趣的进展，比如正交多项式，代数编码（BCH Goppa decoding algorithm），组合数学等领域和可积系的交叉研究。对此我深感兴趣，特别是组合计数方法在可积系研究中的应用，和我在这两个领域里的工作相关。下面是我阅读有关文献的一个读书报告。因为所读有限，遗漏之处请予指正。我谨在此感谢胡星标提供的文献资料。 ? ; 如所周知，可积系研究涉及到数学物理许多方向：微分方程，微分几何，代数几何，李代数，复分析， 群论，力学，规范场理论等等。可积系出现在众多领域这一事实表明可积系研究的价值和它的潜在的美。数学理论中的内在美一直是推动其进展的强大动力。 ;何谓可积系?为何要研究可积系? ;Bernoulli数和Bernoulli 多项式和KdV方程的无穷多个守恒密度之积分的关系； Bell 多项式，di Bruno公式和KdV方程族的明显表达式及Hirota的双线性方法的关系； 计数反演公式和可积系理论中达布变换中的应用. 一些可供进一步研究的问题。 ;Bernoulli 数出现在很多数学领域。比如一些初等函数如tan(x)的Tylor 展开式. ;自然数数列的幂次和及Faulhaber多项式 Bernoulli数和Bernoulli多项式可以用来写出自然数数列的幂次和 ;KdV方程的孤子解和无穷多个守恒量;KdV方程守恒量和Faulhaber多项式;KdV方程的无穷多个守恒律的推导;Miura方法;KdV方程族和递推式;Step1:求解驻定方程;Step2. KdV方程族的导出;Step3. KdV方程族的Hamilton结构; 容易证明上面得到的Hamilton量彼此对合：;KdV方程族守恒密度的一般表示式;Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高而阶数最低的项为;KdV方程族守恒密度的l另一表示式;Hirota导数和他的双线性方法;复合函数高阶导数的 di Bruno 公式;Hirota导数的一个表达式;Bell多项式;反演公式在可积系研究中的应用;微分算子的易位变换;Darboux 变换;Boussinesq方程的Darboux变换;P. di Francesco Integrable combinatorics Plenary talk given at the International Congress of Mathematical Physics, Aalborg, Denmark, August 10, 2012.) Abstract. We review various combinatorial problems with underlying classical or quantum integrable structures. P. van Moerbeke Combinatorics and integrable Geometry This lecture illustrates application of integrable systems to unitary matrix integrals and ultimately to combinatorics and probability theory. P. Deift Integrable systems and combinatorial Theory Notices of AMS V47, No. 6 (2000) pp.631-640 ;I. Goulden and D. Jackson A family of combinatorial solutions to the KP hierarchy ABSTRACT. We give a new explicit solution to the KP hierarchy. This is written in terms of Schur symmetric functions, and uses the known characterization of solutions to the KP hierarchy in terms of solutions to the Plucker relations. Our solution to the Plucker relations involves a countable set of variables for content, a combinatorial paramete