矩阵特征值问题计算.ppt

* 2.2 加速方法 原点平移法 由前面讨论知道，应用幂法计算 的主特征值的收敛 速度主要由比值 来决定，但当 接近于1时，收敛 可能很慢. 一个补救的办法是采用加速收敛的方法. 引进矩阵 其中 为选择参数. 设 的特征值为 ，则 的相应特征值为 ，而且 的 特征向量相同. * 如果要计算 的主特征值 ，就要适当选择 使 仍然是 的主特征值，且使 对 应用幂法，使得在计算 的主特征值 的过程中 得到加速. 这种方法通常称为原点平移法. 例4 设 有特征值 比值 . 作变换 则 的特征值为 * 应用幂法计算 的主特征值 的收敛速度的比值为 选择有利的 值，虽然能够使幂法得到加速，但问题 在于如何选择适当的参数 . 设 的特征值满足 （2.10） 则不管 如何， 的主特征值为 或 . 当希望计算 及 时，首先应选择 使 * 且使收敛速度的比值 显然，当 , 即 时 为最小，这时收敛速度的比值为 当 的特征值满足（2.10）且 能初步估计时， 就能确定 的近似值. 当希望计算 时，应选择 * 例5 计算矩阵 的主特征值. 使得应用幂法计算 得到加速. 作变换 取 ，则 * 对 应用幂法，计算结果如表8-2. 由此得 的主特征值为 的主特征值 为 * 与例3结果比较，上述结果比例3迭代15次还好. 若迭代15次， （相应的 ). 原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法. 这种变换 容易计算，又不破坏矩阵 的稀疏性，但 的选择依赖于对 的特征值分布的大致了解. 瑞利商加速 定理14 设 为对称矩阵，特征值满足 对应的特征向量满足 ，应用幂法计算 的主 特征值 ，则规范化向量 的瑞利商给出 的较好的近似 * 证明 由（2.8）式及 得 （2.11） THE END * 矩阵特征值问题计算 1 引 言 物理、力学和工程技术的很多问题在数学上都归结为 求矩阵的特征值问题.例如，振动问题（大型桥梁或建筑 物的振动、机械的振动、电磁振荡等），物理学中某些临 界值的确定，这些问题都归结为下述数学问题 定义1. （1）已知 ，则称 为 的特征多项式. * 的特征方程 （1.1） 一般有 个根(实的或复的，重根按重数计算)(当 时， 为实系数 次代数方程，其复根共轭成对出现)， 称为 的特征值. 用 表示 的所有特征值的集合. （1.2） 的非零解 称为矩阵 的对应于 的特征向量. （2） 设 为 特征值，相应的齐次方程组 例1 求 的特征值及特征向量，其中 * 解 矩阵 的特征方程为 求得 特征值为： 对应于各特征值的特征向量分别为： * 定理1 设 为 的特征值且 ，其中 , 则 （1） 为 的特征值（ 为常数 ); （2） 为 的特征值，即 （3） 为 的特征值； （4） 设 为非奇异阵，那么 且 为 特征值， 即 定理2 设 为 阶矩阵 特征 值，则 * 定理3 设 ，则 定理4 设 为分块上三角阵，即 其中每个对角块 均为方阵，则 * 定理5 设 与 为相似矩阵（即存在非奇异阵 使 )，则 （1） 与 有相同的特征值； （2） 如果 是 特征向量，则 是 特征向量. 定理5说明，一个矩阵经过相似变换后特征值不变. 定义2 设