奥数六年级千份讲义748实验四中分班考试班第三讲教师.doc

第三讲 数论 真题模考 真题模考 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________ 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅为、，至此当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合； 当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合。 证明从个给定的自然数中，总可以挑选出若干数（至少一个，也可以是全体），它们的和能被整除。 若从中选出，共有个和，被除，若有余数为，则成立；若没有，则必然有两个的余数相同，大数减小数的差必为的倍数。 有个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____。 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧。设中间数是,则它们的和为, 中间三数的和为。是平方数，设,则。是立方数，所以至少含有和的质因数各个, 这五个数中最小数的最小值为至少是,中间的数至少是。最小数的最小值为。 从中，任取个数，使这个数必有两个数的差为，则的最大值为_______。 被除的同余序列当中,如余的同余序列，，中只要取到两个相邻的，这两个数的差为，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为，对于任意一条长度为的序列，都最多能取个数，即从第个数起隔个取个基于以上，个数分成个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为的序列，能够被取得的数的个数也不会超过，所以能使个数任意两个数都不等于，则这个数被分配在条序列中，当取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过那么个序列有个分配了个数，个分配了个数，这个序列个长度为，个长度为，那么,所以要使个数必有两个数的差为，那么的最大值为。 四个不同质数之和为，其中最小的质数是 考查质数知识点。回顾质数相关知识。发现四个数的和为，则必存在一个偶数或者三个偶数。而同时要求均为质数，迅速联想到唯一的偶质数，且为最小的质数。 一个质数分别除，得到的三个余数之和是，这个质数是 翻译为数学语言即是 ， ， 。 而题目中另外一个已知关系即为，将++得到 即为的质因数，，同时因为除数大于余数，所以最小质数只能为 有个不同的自然数，它们的和是，则它们的最大公约数是 本题主要入手点为，，则这四个数可以为的倍数，再进一步构造，发现最大公约数只能为。 把九个数依不同的次序排列，可以得到个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为___________。 本题的范围很大，必须缩小入手点。涉及约数倍数问题，首先思考这类数本身具有的特点。因为，所以无论次序如何，它们的数字之和总可以被整除，因而确定为所有这些九位数的公约数。两个数之间最小差值为，任取两个差为的数，如和，所以为其最大公约数。 若均为整数，且能被整除，试证：也能被整除。 本题给的细节条件比较少，应该从整体入手。已知，则，而题目给出的是， 应用构造法，利用余数加法原理，因为可得。 即也能被整除。 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于。如果把组成它的数字都加上，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。 涉及数码的变化，导致数值的变化，位置制问题。设这个四位数为…，每位数字加，又因为个位数字均小于，则没有进位，表示为…利用位置制中展开式得到- 为…即和为的约数，将分解质因数，其共有个约数，但是有大于，所以只有四种情况符合题意，经过一一试验为和，即原来的四位数为。 考点拓展 考点拓展 有一些自然数，它们除以的余数与除以的商的和是，那么所有这样的自然数的和是多少？ 火眼金睛识知识点：与余数相关的问题。题目给出的范围很大，我们必须缩小入手点。本题旨在找到具有如此特性的这些数。自然数除以的余数只有种情况（余—），相对应，除以的商也有种情况，这样解题思路便开始明确，有章可循。除以余时，除以的商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取、； 最终和为。 大于的自然数小于，并且满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的自然数有多少个？ 火眼金睛识知识点：定义新运