NP完全问题证明.ppt

几个NP完全问题;什么是NP完全问题;七大数学难题;什么是NP完全问题;8.5 一些典型的NP完全问题;8.5.1 合取范式的可满足性问题（CNF-SAT）;8.5.2 3元合取范式的可满足性问题（3-SAT）;;8.5.3 团问题CLIQUE ;8.5.4 顶点覆盖问题 （VERTEX-COVER） ; 证 将3SAT变换到VC. 设U={u1,u2,...,un}, C={c1,c2,...,cm}是3SAT的实例. 如下构造图G, 分量设计法. 真值安排分量: Ti=(Vi,Ei), 1?i?n, 其中Vi={ui,ūi}, Ei={{ui,ūi}} 任意覆盖必至少包含ui或ūi中的一个,否则不能覆盖边{ui或ūi}. 满足性检验分量: Sj=(Vj’,Ej’), 1? j? m, 其中 Vj’={a1[j],a2[j],a3[j]} Ej’={{a1[j],a2[j]},{a1[j],a3[j]},{a2[j],a3[j]}} 覆盖至少包含Vj’中的两个顶点,否则不能覆盖Ej’中的三角形 ;联络边: 沟通分量之间的关系 对于每个子句cj, 设cj = {xj,yj,zj}, 则 Ej’’={{a1[j],xj},{a2[j],yj},{a3[j],zj}} G = (V,E) V = (V1?V2?...?Vn)?(V1’?V2’?...?Vm’) E = E1?E2?...?En)?(E1’?E2’?...?Em’) ?(E1’’?E2’’?...?Em’’) K = n +2m 显然构造可在多项式时间完成;重庆调查公司重庆私人侦探 奀莒哔;例如 U = {u1,u2,u3,u4}, C = {{u1,ū3,ū4},{ū1,u2,ū4}}, 则G如下，K = 4 + 2×2 = 8; 设V’是V中不超过K的顶点覆盖, 则V’中必包含Ti中的一个顶点和每个Ej’中的两个顶点, 至少要n+2m个顶点. 而K=n+2m, 故V’中一定只包含每个Ti中的一个顶点和每个Ej’中的两个顶点. 如下得到赋值 ui?V’ ? t(ui)=T ūi?V’ ? t(ui)=F Ej’’中的三条边有两条被Vj’?V’中的顶点覆盖, 第三条必被V’?Vi中的顶点覆盖. 这表示在Vi中的这个顶点对应的文字取真. 所以子句cj被满足. 从而C被满足. 设t: U?{T,F}是满足C的一组赋值. 若t(ui)=T, 则在Ti中取顶点ui, 否则取ūi. 因为t满足子句cj, 在Ej’’中的三条联络边中至少有一条被覆盖, 那么取Ej’’中的另两条边的端点作为V’中的端点即可. ;实例：有穷集A，?a?A, s(a)?Z+. 问：是否存在A’?A，使得;;例如： W={w1,w2},X={x1,x2},Y={y1,y2}, M={(w1,x2,y2),(w1,x2,y1),(w2,x1,y1)} p=?log(3+1)?=2 元素a1,a2,a3分别对应 (w1,x2,y2),(w1,x2,y1),(w2,x1,y1) s(a1) = 01 00 00 01 00 01 = 210 + 24 + 20 s(a2) = 01 00 00 01 01 00 = 210 + 24 + 22 s(a3) = 00 01 01 00 01 00 = 28 + 26 + 22 B = 01 01 01 01 01 01 ;子集A’ = {ai:1?i?k} 满足 ;假设A’? A使得A’和A-A’的元素大小之和相等，即;;限制法 三元集合的恰当覆盖(X3C) 最小覆盖问题 集中集 子图同构问题 有界度的生成树 0-1背包Knapsack 多处理机调度; 局部替换法 3SAT 两点间的Hamilton通路问题 区间排序 分量设计法 最小拖延排序;限制法：通过对问题?的实例加以限制得到一个已知 NP完全问题的实例. 例1 三元集合的恰当覆盖(X3C) 实例：有穷集S, |S|=3q, S的三元子集的集合C 问： 是否有C’? C, 使得S的每个元素恰好出现在C’的一个成员中. 证明：限制 S = W?