不倒翁不倒原理.doc

不倒翁不倒原理 江南大学机械君远学院 杨洋 蒋宽 卜诚 蔡葳丰 摘要：不倒翁有着悠久的历史，它的不倒之谜始终吸引着大家。本文将从理论上分析，应用理论力学的知识来解释它的不倒之谜，并加以推广其在生活中的可用之处。 关键字：不倒翁 力学原理 实际应用 一、不倒翁的历史与发展 不倒翁是一种一经触发就能左右摇摆并最终恢复直立状态的玩具。最初，不倒翁在形状上像一个老人，扳倒后能自动竖立起来，因而又称“扳不倒儿”。不倒翁在中国有着悠久的历史。清代文人魏崧在《壹是纪始》中就已写到：“不倒翁始于唐。”他据《唐摭言》中记载：“卢连举不第，赋《酒胡子》长篇以寓意，序曰：‘巡觞之胡，旋转由人。’今谓之不倒”，这个便是不倒翁的最初原型。不倒翁的制作相当简单有乒乓球不倒翁，鸡蛋壳不倒翁，蜡烛不倒翁等等。随着历史的发展，不倒翁更是焕发着蓬勃的生机。关于不倒翁的玩具更是层出不穷，是儿童们很喜欢的玩具。而应用不倒翁原理所生产的产品更是深受人们的喜爱。 不倒翁的力学原理 通过发现可以知道不倒翁有个特点：上半身为空心壳体、下半身是一个实心的半球体，底部为圆形。这些特点使它们具有了一致的基本力学结构，都能达到“不倒”的效果。不倒翁不倒跟它的整体构造有关。不倒翁整个身体都是很轻的，但它的底部有一块比较重的铅块，因此，整个不倒翁的重量几乎都集中在底部，也就是说，它的重心，是物体所受重力的合力作用点，是很低的。另一方面，就是不倒翁的底面是一个半球形，所以很容易摆动。当不倒翁倾斜到一边的时候，它的支点，可以说是不倒翁和桌面的接触点，也会跟着变动，这个时候，重点也就会跟支点不在同一条直线上。为了恢复原位，不倒翁会在重力的作用下，绕支点摆动，一直到停止为止。不倒翁倾斜的程度越大，支点与重心的水平距离就会越来越大，不倒翁的摆动的幅度也会随着大，它要恢复到原来的位置趋势的时候也就会越显著。所以，即使怎么推，不倒翁也不会倒下去。 1不倒翁的平衡稳定性 不倒翁在桌面上，受到两个外力的作用：一个是重力W，即地球对不倒翁的吸引力；另一个是支持力，即桌面对球体的反作用力。根据物体的平衡条件，只要这两个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上，不倒翁就能够保持平衡的状态。不倒翁在受到外力的作用时，就要失去平衡，而在外力去除后，不倒翁能自行回复到平衡状态，这说明不倒翁具有一种抵抗外力干扰保持平衡的能力，这就是平衡的稳定性。 2、力学分析 稳心：将支撑力延长与不倒翁轴线交于M点，则M点称为稳心 稳心高度：重心G到稳心M的距离称为稳心高度 稳心半径：B′到稳心M的距离称为稳心半径 重心G 重力W 桌面支点B 桌面支撑力W` 无外力作用：W=W`； 平衡有外力作用：支点B变为B`W=W`，但不在一条直线上，形成一扶正力矩M扶 Ｍ扶＝Ｗ·力偶距 Ｍ扶 ＝Ｗ··sinα 外力撤离：M扶使不倒翁回到平衡位置 由以上分析可见：不倒翁倾斜时受到两个力矩的作用，我们称外力的作用为干扰，外力形成干扰力矩；另一个叫扶正力矩（Ｍ扶），由自身的重力形成。本来不倒翁是直立的，由于外力的作用，外力对不倒翁与制成面的接触点产生力矩，使不倒翁倾斜，打破原来的平衡。此外，本来重力是不产生力矩的，因为本来不倒翁是直立的，重力的作用线和支点位于同一直线上，力矩为零。由于外力的作用，不倒翁倾斜，半球体向一侧滚动，接触点随之移动，形成了新的接触点，即形成了新的支点，此时重力的作用线和原支点不在同一直线上，因而形成力矩，这就是扶正力矩。正是由于扶正力矩的形成和发展，抵抗和制止了外力的干扰作用。 当外力撤去后，由于扶正力矩的作用，会使不倒翁重新回到平衡。但由于Ｍ扶 ＝Ｗ··sinα，同时随着不倒翁倾斜的角度不断增大，重心作用线的偏移量也不断增大，扶正力矩的量值也不断增大。如图所示：（当α15°时，M扶 随倾角呈线性变化） M扶 随α的变化曲线 三、不倒翁重心的最佳位置 如下图所示，建立直角坐标系，设不倒翁的重心坐标为O（0，b）先假设不倒翁向右摆。欲求不倒翁重心的最佳位置，应使在任一时刻不倒翁上任一与地面接触的点的法线与y轴的交点坐标B应在重心坐标O之上。因为只有这样才能保证在任一时刻重力为回复力。力矩为回复力矩。不倒翁在地面上的摆动可以看成不倒翁静止，地面假象成不倒翁的切线在不倒翁表面运动。 设任一时刻不倒翁与地面的接触点为A（x。 ，y。）该点处切线的斜率为2ax。所以法线AB方程为y-y。=-1/2ax。(x-x。)；y。=ax^2； 联立方程解得y=-1/2ax。（x-x。）+ax^2。 与y轴的交点B（0,1/2a+ax。^2） 所以1/2a+ax。^2≥b； 因为该式对于任意x。恒成立。所以1/2a≥b恒成立。 由此求得0≤b≤1/2a 当不倒翁向左摆动时，分析同上。 四、不倒翁的应用与创新 不倒