玻利亚的《怎样解题》精华.doc

玻利亚的《怎样解题》精华 玻利亚的《怎样解题》曾经掀起欧美数学界的震动。他是一位基础的数学家和教育家，作为数学家，他在数学的各个分支中，都有璀璨的成就。欧美的数学家曾经呼吁，学数学的人，要读读伯利亚，不学数学的人，也要读读伯利亚。数学老师要读读伯利亚，初中生高中生大学生要读，数学家也要读读伯利亚。他写的怎样解题，介绍了在数学中的普遍规律，几乎全部是文字叙述。为了方便大家更快的阅读，节省时间，我整理了一下，这样，您在10分钟之内，就可以读完。有些地方，值得仿佛阅读，牢记 解题是对过去的回忆 让目标调动你的记忆力。 我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推 任何事物的学生，最后也会被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。 我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始。 我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。 力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是个好念头。 探寻你解题步骤目的和动机 如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和建议(象第lO、18、*9、20节中所做的那样)，这需要大量的时间和精力，但却是值得一做的。 人和飞虫的区别 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把 到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务。 但是，我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有才能的人所遵循的研究规则与方法。 人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量数学知识的数学家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释，并且把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。 解题本质，跨越鸿沟 在我们面前有个未解决的问题，一个随便用什么方法处理的问题。我们必须找出已知与未知间的联系。我们可以把我们待解的问题表示成已知与未知之间的广阔空间，当作已知与未知之间的一道鸿沟，在其上需要架桥。我们架桥可以从任何一边(从未知或者从已知)开始。 一个高水平的学生对此也可能一筹莫展。当然，有各种办法可试，但帮助学生精神重新振作起来的最好问题是：你能从已知事项导出什么有用的东西 如果你钻到细节中去，你可能会在细节中迷途。过多或过细的具体情节是脑力的一种负担。它们如一叶障目会阻碍你充分注意主要之点，甚至使你完全看不到主要之点，只见树木而不见森林。 我们当然不希望为不必要的细节去浪费我们的时间，我们应该把我们的精力用到主要内容上。困难就在于我们事先说不出哪些细节最后会变成主要的，而哪些又不会。 数学的解题是一种组合 当然，重新组合的可能性是无限的。困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合。而解题者的才能就在于组合的独创性。但也存在着某些普通的、相对简单的组合，它们对于较简单的问题而言已经够用。对于这样的组合我们应当彻底加以了解并且首先试用，即使我们最后不得不求助于不太显而易见的方法。 消去花哨让人犯怵的数学专业术语，回到定义上，看到客观事实的真正联系。（你看到WC你应该像想到厕所，然后，是排泄的地方，然后是具体马桶小便池，于是，就把WC这个专业术语消去，让花哨而让人反感的术语，变成了现实的联系，数学术语也是这样。） 数学中