薄透镜的傅立叶变换特性.doc

第五章 薄透镜的傅立叶变换特性 透镜是光学成像系统和光学信息系统中最重要的元件。关于薄透镜的成像性质，我们在几何光学中已经学过。本章我们用波动的观点讨论薄透镜的作用。本章首先讨论透镜对入射光波相位改变的规律。然后讨论透镜的傅立叶变换特性，最后讨论透镜孔径对傅立叶变换的影响。 §5.1光波通过薄透镜后的位相变化 透镜是用玻璃、树脂或其它透明材料制成的光学成像或光学信息器件。其折射率n大于周围的空气。光通过透镜的不同部位产生的位相变化不同，其大小与透镜的厚度成正比。如果一条光线以任意方向通过透镜只有位相的变化，而横向位移可以忽略（或者说入射到透镜上的任意光线，其入射点高度与出射点高度相同），则该透镜称为薄透镜。我们先研究孔径无限大的薄透镜。 设透镜的最大厚度为Δ0，光线通过透镜时，在点的发生的总位相延迟 当不考虑透镜的反射和吸收，光线通过透镜仅发生位相的改变，其作用相当于一个复振幅透过率为t(x, y)的透射屏。所以 为了确定各种不同类型的透镜所引起的位相变化的具体形式，规定以下符号规则：当光线从左到右时，其遇到的每个凸面的曲率半径为正，而凹面的曲率半径为负。将透镜分成如图所示的两半，令、表示两半的厚度，于是厚度函数 根据图中的几何关系，有 同样 如果只考虑近轴光束，即x，y,，则 所以厚度函数近似为 代入透射函数表达式，得 在几何光学中，我们曾在近轴条件下导出薄透镜的焦距f和透镜的两个曲率半径的关系为 所以透镜的复振幅透过率为 由于是不随（x, y）变化的常位相因子，为简明起见，常将其略去，所以透镜的位相变换因子写为 所以透镜的位相变换作用是使得入射光波经透镜之后产生二次曲面位相因子的变化，这种变化只取决于透镜的焦距值。焦距的正负使光波的位相产生了球面波二次曲面的延迟或超前。 若考虑透镜孔径的有限大小，用表示其孔径函数（光瞳函数），则 透镜对光振动所起的位相变换作用，是由透镜本身性质决定的，与入射光振动复振幅的具体形式无关。若某一器件或透明片，对光振动的复振幅透过率可用表示，则它的作用就相当于焦距为f的透镜。通过全息照相的方法可以获得形式透过率的透明片，这就是制作全息透镜的基本原理。 §5.2透镜的傅立叶变换特性 正透镜的有用性质之一是能够进行二维的傅立叶变换。下面考虑用正透镜进行傅立叶变换的两类光路：第一类，要变换的物体置于透镜的前方；第二类，要变换的物体置于透镜的后方。我们先导出一般公式，然后讨论一些有实用价值的特殊情况。 一、要变换的物体在透镜前方 点光源位于P0平面的（0,0）点，透镜（无特殊情况指会聚透镜，注意符号法则）位于P平面上，设要变换的物体是一个透明图片，位于P1平面，复振幅透过率，如下图。 S点发出的单色发散球面波照射到面，在近轴近似下，其复振幅为： 经过透明片后其复振幅为 在透镜前，光场的复振幅可按菲涅耳衍射公式写为（忽略常位相因子） 则在透镜后，光场的复振幅分布位（忽略透镜孔径的衍射作用，即考虑透镜孔径无限大） 由透镜后到观察面，同样根据菲涅耳衍射公式，则 其中 讨论 1当满足时，即Pi面是P1面的共轭面时 在Pi这个共轭面上没有透明图片的频谱分布信息，可以认为得到的是的像，而不是的频谱。 2当满足时，即Pi面是光源面的共轭面时 将代入上式消去d0，得 其中 通过以下的运算，我们得到在光源的共轭面上，透明图片的复振幅为 其中 从导出的式子可以看出：在光源的共轭像平面上透明图片的复振幅分布，除与和的二次位相因子有关外，还与的傅里叶变换有关。空域坐标与频谱坐标的缩放尺度由决定。 3当时，即物在前焦面上时 显然在这种情况下，观察面的复振幅就是物体的透射系数的傅立叶变换。用这种光路可以准确实现光学傅立叶变换，并且与照明光源的位置无关。当光源位于无限远，即用平行光照明物体时，傅立叶变换平面就位于透镜的后焦面，如下图。当光源位于任意位置与透镜的距离为-d0时，傅立叶变换平面位于光源的共轭像面，变换平面与透镜的距离为，如图。 利用这种光学傅立叶变换，可以分析物体的空间频谱，也可以根据空间频谱来研究物体的结构。近代光学中的光学变换、光学空间滤波、光学信息处理以及傅立叶变换全息等都以此为基础。 4当时，即物紧靠透镜时 根据 得 这就是物紧靠透镜时在输出面上的复振幅分布。在这种情况下，存在附加二次曲面关系的位相因子。如果用平行光照明，则，此时 5物体位于透镜前任意位置，如果用平行光照明物体，即的情况 根据 当时 这种情况下，在傅立叶变换平面上，不论物位于何处，位置坐标与频率坐标的比例不变，但是二次曲面位相因子仍然存在。应当指出，如果，物体的像为放大的实象；若，则物体的像为放大的虚象。 二．物在透镜后 当要变换的物体置于透镜的后方时，如下图。 忽略透镜孔径的衍射作用，我们用与推导物在透镜前的方法一样，可导出在点光源