高中数学教案——导数的综合应用.doc

PAGE PAGE 8 导数的综合应用 导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围. 2.会利用导数解决某些实际问题． 自主梳理 1．已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题． 2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集． 3．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解． 自我检测 1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________． 2．(2011·扬州模拟)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x) (a0，且a≠1)，eq \f(f?1?,g?1?)＋eq \f(f?－1?,g?－1?)＝eq \f(5,2)，则a的值为____________． 3．(2011·厦门质检)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m为________． 4．函数f(x)＝eq \f(1,2)ex (sin x＋cos x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为______________． 5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________． 探究点一　讨论函数的单调性 例1　已知函数f(x)＝x2e－ax (a0)，求函数在[1,2]上的最大值． 变式迁移1　设a0，函数f(x)＝eq \f(aln x,x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值 探究点二　用导数证明不等式 例2　已知f(x)＝eq \f(1,2)x2－aln x(a∈R)， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x1时，eq \f(1,2)x2＋ln xeq \f(2,3)x3. 变式迁移2　(2010·安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln 2－1且x0时，exx2－2ax＋1. 探究点三　实际生活中的优化问题 例3　某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件． (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 变式迁移3　甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000eq \r(t).若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)． (1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？ 转化与化归思想 例　(14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0. 【答题模板】 (1)解　∵f′(x)＝eq \f(x＋1,x)＋ln x－1＝ln x＋eq \f(1,x)，x0，[2分] ∴xf′(x)＝xln x＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1， 得a≥ln x－x，令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1，[5分] 当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0， ∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1， ∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[8分] (2)证明　由(1)知g(x)＝ln x－x≤g(1)＝－1，∴ln x－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[10分] 当0x1时，x－10，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋ln x－x＋1≤0， ∴(x－1)f(x)≥0.[12分] 当x≥1时，x－10，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝ln x＋xln x－x＋1 ＝ln x－xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln \f(1,x)－\f(1,x)＋1))