函数极限的若干求法.doc

PAGE PAGE 1 函数极限的若干求法 摘要：极限是高等数学中的一个基本概念，而且它在高等数学中也占有重要的地位。极限分为数列极限和函数极限。本文主要总结了几种求函数极限的常用方法。这些方法分别是利用函数连续性及四则运算法则、迫敛性、替换法、罗必达法则、导数定义、定积分、泰勒展式和马克劳林展式、微分和积分中值定理求函数极限，并且在介绍每种方法的时候给出了相应的说明，同时还强调了这些方法的适用范围及使用时应注意的问题。 关键词：极限 等价 罗必达法则 Some Solutions to The Problems of Functional Limit Abstract:The limit is a fundamental concept in advanced mathematics, and a crucial part of it as well. It is divided into two parts,the sequencial limit and the functional limit. The papesr mainly deals with the summarization of several common to the problem of functional limit. These approaches aim to solve the very problem with the application of the continuity of functions,the four algorithms, Squeeze, replacing France, Romanias Rule, definition of derivative, definite integral, Taylor Expansion and Maclaurin expansion, differential and integral mean value theorem ,and the relevant introduction is provided when introducing these methods,whose applicability and notice when being used are also highlighted in this paper. Keywords: the limit equivalence L’Hospital 极限是高等数学中的一个基本概念，它在高等数学中占有重要的地位。高等数学中的许多概念，比如连续、微分、积分等等都是建立在极限的定义基础上的。可以说没有极限的定义，高等数学中的很多知识都无从谈起，所以极限的求解很重要。极限包括数列极限和函数极限两部分，其中函数极限的求法更是重中之重。书上给出了函数极限的定义，可以利用函数极限的定义法求函数极限，但是利用函数极限的定义通过寻找δ一般都很难，需要很强的技巧和经验，这种方法很难掌握。其实函数极限的求法有很多，本文总结了几种求函数极限的常用方法。 1.利用函数连续性及四则运算法则求函数极限 1.1 利用函数连续性求函数极限 如果函数在定义域内的某点处连续，按函数在处的连续性定义，则有。因此，对连续函数求极限就是用代入法求函数值。因为一切初等函数在其定义域内都是连续的，所以，若是初等函数，属于它的定义域，则。即对于初等函数而言，，。 = 解：可设， ， ∴ J=== 1.2利用四则运算法则求函数极限 定理1.2.1 （）[1] 在利用四则运算法则时一定要注意，只有当和都存在时才可以使用此定理；否则，定理无效。比如，，，若由此定理可推得：,而都不存在，则可得出， 也不存在的错误结果，然而。所以在使用四则运算法则时，一定要注意上述限制条件。 1.3 不连续的分式函数 对于不连续的分式函数（如），可采用约简分式、分子分母有理化、通分变形、式子变形等方法消去分子、分母中极限为零或∞的因子，于是就可以转化成可以用函数连续性或四则运算法则求解的情形。 （1） 解：（1） 类似的，得出两个有用的结论： 2.利用迫敛性求函数极限 定理2.1（迫敛性） ， 。[1] 用迫敛性求极限，就是要将函数放大及缩小成和，即使得成立，易求并且相等，那么根据定理2.1就可求出。 例3 求极限 （1） （2） 解：（1）易知，∴ 。 又∵ ，则，∴ I=. （2）∵，当时，， ∴ ，又∵，∴J=0。 3.利用替换法求函数极限 通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者已知或者易求，则问题就解决了。 3.1利用两个重要极限 第一个重要极