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ALG不等式与导数压轴题
ALG 不等式与导数压轴题
贾勇
高考导数压轴题常常出现含有自然对数的底数e ln 的函数，设计一个与不等式相关
的问题，如证明不等式、比较大小、求参数取值范围及函数最值等，像这样的不等式问题可
以尝试用ALG 不等式解决.
一、ALG 不等式介绍
x +x x −x
若记A 1 2 , L 2 1 , G x x , 则A,L ,G 分别是正数x ,x 的算术平均、
2 ln x −ln x 1 2 1 2
2 1
对数平均、几何平均值.所谓ALG 不等式指的是A L G 。现将对数形式的ALG 不等式
的介绍如下：
在图1 中，C 为AB 中点，线段CD ⊥x 轴，点D 在函数f (x ) e x 图象上，过D 的切
线交BM 于点E ，交AN 于点F.
设A(a ,0) B (b,0),a ≠b, 则直角梯形面积SABMN 曲边梯形面积SABMDN 直角梯形面
b a a+b b a b a a+b
e +e b e +e e −e
积 x 2 2 这
SABEF , ⇔ (b −a) e dx e (b −a), ⇔ e (a ≠b).
2 ∫a 2 b −a
是ALG 不等式的指数形式 （此形式2013 年陕西高考压轴题中出现过）.
如果令 （则 ）
b ln x , a ln x , a 0,b 0, a ≠b
2 1
b a b a a+b
e +e e −e x +x x −x
那么 2 1 2 2 1 [1]
e ⇔ x x ⇔ A L G 成立 .
1 2
2 b −a 2 ln x −ln x
2 1
二、证明函数不等式
ALG 不等式在导数压轴题中常常用到，先看看在函数中的重要地位，如：
例1 （2012 年辽宁高考理数）设 （ 为常
f (x ) ln(x =+1) + x +1 +ax +b a,b ∈R, a,b
3
数），曲线y f (x ) 与直线y x 在(0,0) 点相切.
2
9x
（1）求a,b 的值；（2 ）证明：当0 x 2 时，f (x
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