第2章2-矩阵的Jordan标准型复习课程.ppt

问题： 如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，能否找一最简单的矩阵与之相似？如何找。 等价的问题： 若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。;§2.1矩阵的Jordan标准型 ;? ;? ;则 c (A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。;? ;? ;? ;? ;? ;定理;;定理;例;;? ;? ;;定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。;? ;? ;? ;? ; ;Jordan标准型;? ;Jordan矩阵的结构与几个结论: Jordan块的个数 k是线性无关特征向量的个数; 矩阵可对角化,当且仅当s=n; (3)相应于一个已知特征值 的Jordan块的个数是该 特征值的几何重数 ,它是相应的特征子空间的维数, 相应于一个 的所有Jordan块的阶数之和 是该特征值的代数重数 .特征值 的几何重 数 代数重数 (4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关. ;推论：;推论： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。;?1, ?2, …, ?s ;定理5： l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，; 则V 上必然存在一个线性变换T，使得;?1, ?2, …, ?s ;五.Jordan标准型与最小多项式的关系;六.Jordan标准型的确定;例 ;例 ;七、方阵A的Jordan 标准形的求法;Jordan链{?，y2，…，ynj};例6 p77 2.3.3;例9 证明：若A的所有特征值是l1,…,ln，则Am的所有特征值是l1m,…,lnm。;? ;? ;? ;