有质量弹簧的振动解.doc

2 0 0 3 20 4 , 5 ( 2 ) : 4 5 -4 2 0 0 3 20 4 , 5 ( 2 ) : 4 5 - 4 7 J ou r na l of A ns ha n Nor ma l U niversity 有质量弹簧的振动解 戴宝印 代 娜 (鞍山师范学院 物理系 ,辽宁 鞍山 114005) 摘 要 :从有质量弹簧的波动方程出发 ,运用牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法 ,给出定解问题 ;然后 分离变量 ,直接求解波动方程 ,得到分离变数形式的解和频率 ω所满足的本征值方程 ;再将 tanω/ ωm 展开 成麦克劳林 ( Maclaurin) 级数形式 ,并采用迭代法解出弹簧振子的本征频率 ,导出弹簧的有效质量的渐近级 数表达式 ;最后由初始条件解出其对应的振幅 ,得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解 . 关键词 :波动方程 ;本征值方程 ;本征频率 ;有效质量 文章篇号 :100822441 (2003) 0220045203 中图分类号 :O32 文献标识码 :A The Sol ut ions of Spring Which O wns Ma ss DA I Bao2yin DA I Na ( Depa rt ment of Physics , A ns han N or m al U ni versi t y , A ns han L i aoni ng 114005 , Chi n a) Abstract :Applying Newto n seco nd law and Hoo ks law and lit tle yuans analytic met ho d , t he p ro blem of definite solutio n are w rit ten o ut ,beginning wit h t he wave equatio n of sp ring w hich ow ns mass. Then t he variables are separated and t he wave equatio n is solved directly. The solu2 tio n of separating parameter fo r m and int rinsic equatio n t hat f requency meet s are got . Then tanω/ ωm is changed into McL aurin Series fo r m and t he int rinsic f requency of sp ring o scillato r is solved by adop ting iterative law . The asymp totic series exp ressio n of t he effective mass of sp ring is co ncluded. Acco rding to t he initial co nditio ns , t he co rrespo nding amplit ude is solved and t hen t he solutio n of sp ring w ho se mass can not be igno red o scillato r system is got . Key words : Wave equatio n ; Int rinsic equatio n ; Int rinsic f requency ; Effective mass 在精确程度要求不高的情况下 ,一般认为弹簧振动系统具有一个自由度 ,即系统内各点的位置完全 由振子的位置决定 ,弹簧质量忽略不计 ,不考虑弹簧惯性的影响. 严格地讲 ,弹簧具有质量 ,弹簧上各点 的位置并不能由振子的位置完全确定 ,弹簧的惯性将对整个系统的运动产生影响. 1 有质量弹簧的波动方程 考虑弹簧是均匀的连续介质 ,一端固定 ,一端系一质量为 M 的振子 . 设弹簧的劲度系数为 k , 长为 L , 质量为 m , 在 t 时刻离固定端距离为 x 点处的弹簧位移量为 u ( x , t ) , 在振动过程中 , 弹簧不断地受到 拉伸或压缩 . 观察其中原长为 d x 的一小段 . 设在某一时刻 t 这段弹簧正受到拉伸 , 根据胡克定律 , d x 两 端受到的合力为 5 F 5 F ( 1) F = kL / d x d u , 即 F = kL u x , 将 - F + F + 5 x d x = 5 x d x . 这段弹簧的劲度系数是 kL / d x , 它的形变是