第二章--向量复习总结.docx

PAGE PAGE 1 第二章 向量复习 1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 向量的线性运算 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λa＝(λx1，λy1) 向量的数量积运算 a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积 a·b＝x1x2＋y1y2 2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 3.向量的平行与垂直 a，b为非零向量， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b 有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0) x1y2－x2y1＝0 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 类型一　向量的线性运算 例1　(1)如图所示，在△ABC中，eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \o(AP,\s\up6(→))＝meq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为______. (2)已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量，则角A＝________. 跟踪训练1　(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))，连接DC延长至E，使|eq \o(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)|eq \o(ED,\s\up6(→))|，则点E的坐标为________. (2)在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(BE,\s\up6(→))，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由. 类型二　向量的数量积运算 例2　已知eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，设C是线段OP上的一点(其中O为坐标原点). (1)求使eq \o(CA,\s\up6(→))·eq \o(CB,\s\up6(→))取得最小值时的eq \o(OC,\s\up6(→))； (2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB. 跟踪训练2　已知向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－(3＋m))， (1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 类型三　向量坐标法在平面几何中的运用 例3　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小. 跟踪训练3　若等边△ABC的边长为2eq \r(3)，平面内一点M满足eq \o(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \o(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(CA,\s\up6(→))，则eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝________. 例4　已知向量eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \o(CA,\s\up6(→))＝(eq \r(2)cos α，eq \r(2)sin α)，则eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))夹角θ的范围是________. 跟踪训练4　已知向量a2＝b2＝1，且a·b＝－eq \f(1,2)，求： (1)|a＋b|； (2)a与(b－a)的夹角. 1.在四边形ABCD中，