线性代数第2章.ppt

非齐次与齐次线性方程组的概念 一、克拉默法则 二、重要定理 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 求特解 所以方程组的通解为 故得基础解系 另一种解法 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １．基础解系的定义 ２．基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系． 　　３．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例3 证 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 定理1 若非齐次方程组（1）有解，即R(A)=r，则当r=n时，方程组（1）有唯一解；当rn时，方程组（1）有无穷多解。 证明 R(A)=n时，（1）对应的齐次方程组只有零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有唯一解。Rn时（1）对应的齐次方程组有无穷多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有无穷多解。 例1 求解方程组 解 解 例2 求下述方程组的解 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组 求基础解系 令 依次得 第四节 克莱姆法则 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 证明 再把 个方程依次相加，得 由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解 由于方程组 与方程组 等价, 故 也是方程组的 解. 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 齐次线性方程组的相关定理 定理3　如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解. 定理4　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 有非零解. 系数行列式 例1 用克拉默则解方程组 解 例2 用克拉默法则解方程组 解 例3 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 一、线性方程组解的存在条件 如果方程组有