高等数学连续函数的运算法则教学文稿.ppt

1 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 2 函数 f(x) 在点x0 连续 上一节结论： 初等函数连续性？ 由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和 有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数. 4 定理1 一、连续函数的四则运算 结论: （1）三角函数在其定义区间内皆连续 若函数 f(x)与 g(x)在点x0 处连续， 则 f(x)+g(x)， f(x)g(x)， 在点x0 处连续。 故tanx, cotx, secx, cscx在定义域上连续 5 2.反函数与复合函数的连续性 函数y=f(x) 的反函数x=f -1(y) 定理2 若函数y=f(x)在 区间 Ix上单调增加且连续, 则它的反函数x=f -1(y)在 对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix} 上单调增加且连续. 6 因为y=sinx在 上单调增加且连续 结论： （1）三角函数在其定义区间内皆连续 （2）反三角函数在其定义区间内皆连续 （3）指数函数在其定义区间内皆连续 （4）对数在其定义区间内皆连续 故y=logax在(0,+∞)单调增加且连续。 在(-∞,+∞)单调增加且连续 故y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续 幂函数? 7 幂函数? 复合函数连续性? 问题： 函数y=f(x)在x0点连续 若函数y=f(x)连续，是否成立 9 8 定理3 设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成, 若 而y=f(u)在u0点连续, 则 证明： y=f(u)在u0点连续, 当|u-u0|η时， 当0|x-x0|δ时， 当0|x-x0|δ时， 9 当外层函数连续，内层函数极限存在，且 时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号” 例1 证明当x→0时，ln(1+x)~x , 证： 当x→0时，ln(1+x)~x， 10 例2 证明当x→0时，arcsinx~x , 当x→0时，t →0 当x→0时，arcsinx~x 证：设 则 x=sin t 常用等价无穷小 当x→0时， 11 练习 1. 计算极限 2. 当x→0时， 是x的几阶无穷小？ 12 定理4 设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成, 若g(x)在x0点连续, g(x0)=u0, 而y=f(u)在u0点连续,则y=f(g(x))在x0点连续。 证明 复合运算保连续 幂函数 故 y=f(g(x))在x0点连续。 13 结论： （1）三角函数在其定义区间内皆连续 （2）反三角函数在其定义区间内皆连续 （3）指数函数在其定义区间内皆连续 （4）对数函数在其定义区间内皆连续 （5）幂函数在其定义区间内皆连续 基本初等函数在其定义区间内皆连续 14 三、初等函数的连续性 初等函数 常数 基本初等函数 四则运算 复合运算 连续 保连续 定理4 初等函数在其定义区间内都是连续的. 15 注: 1. 初等函数在其定义域内不一定连续;　 例如, 在0点的邻域内没有定义. 2. 初等函数求极限的方法代入法. 函数在区间[1,＋∞)上连续 例如 16 例3 求极限 计算： 17 设 证 则 幂指函数求极限的方法： 当底数的极限为正，且指数的极限为常数时， 幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。 18 例4 求极限 解 19 练 习 题 0 3. 求极限 作业：P70：T3 (3)(5)(6)(7)， T4 (2)(4)(5)(6) 4. 求极限 20 例5 求极限