线性系统理论第1章.ppt

§0 序言 在经典控制理论中，主要研究的仅仅是输入、输出之间的动态关系。对于一个线性定常系统，是用一个高阶微分方程或传递函数加以描述的，它们将某个变量作为输出，直接和输入联系起来。系统的动态特性由该变量对给定输入的响应来表征。虽然这个输出变量的响应可能是我们直接感兴趣的唯一结果，但是系统除了这个变量外，还包含有其它相互独立的变量。关于它们对给定输入的响应如何，则必须另行研究。 因此，用一个高阶微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统显然有其不足之处，它们不能完全描述系统的全部运动状态。 如图所示的系统，其中y表示小车运动的位移，u表示外作用力，F为摩擦力，k为摩擦系数，M为小车的质量。根据牛顿力学定理，系统的方程为： 以小车的位移y为输出，外作用力u作为输入，系统的传递函数为： 我们知道，光有位置y还不能完全表达小车的状态。对于某个位移y，速度可以具有任何数值而与位移的数值无关。要完整地描述这个系统的状态，既要知道y又要知道 。一般说来，要完整地描述任意一个系统都需要知道其全部独立变量。这就说明建立在输入—输出关系上的古典控制理论存在着局限性。 1950年代后期开始，Bellman、Kalman等人提出了状态变量法。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。 在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解相应的高阶微分方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。 此外，状态空间法还可以方便地处理初始条件，可以用来分析设计多变量、时变和非线性系统，也可以应用于随机过程和采样数据系统，因此它是研究大型、复杂、高质量控制系统的理论基础。 现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。 因此，确定控制系统状态空间的描述，即建立状态空间的数学模型，是一个基本问题。 同一个系统，究竟选取那些变量作为状态变量，这不是唯一的，要紧的是这些状态变量是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数。因为微分方程的阶数是唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此，状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。 还应该指出，状态变量不一定是物理上可量测或可观测的量，但通常总是选择易于测量或观测的量作为状态变量，因为当系统实现最优控制规律时，需要反馈所有的状态变量。 当友矩阵 A 的特征值互异时, 将友矩阵 A 变换成对角线矩阵的变换矩阵 P 恰好为下述 范德蒙矩阵（Vandermonde Matrix） 解 1. 先求 A 的特征值。由特征方程可求得特征值为 ?1=0 ?2=-1 ?3=-2 2. 由于 A 为友矩阵，故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵 P 及其逆阵 P-1 分别为 3. 计算各矩阵 例 试将下列状态空间模型变换为约旦标准型 4. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为 状态空间模型变换与对角线标准型、约旦标准型的关系 只要 是非奇异矩阵，则 也是该系统 的状态向量。 同一个系统 得到不同的状态空间表达式 选取不同的状态变量 这些不同的状态空间表达式之间一定存在着某种联系 一、状态变量的线性变换 是系统的由n个状态变量构成的状态向量 设另一组变量构成的向量 即： 同理可以有： P也应是非奇异矩阵，且 同一个系统的不同状态向量之间存在线性变换的关系，而且必是 非奇异变换。 LTI系统，在选取 为状态向量时有状态空间表达式： 在选取 为状态向量时有状态空间表达式： 显然有： 或： 本讲义取原状态向量： 新状态向量： 非奇异变换： 二、系统特征结构的不变性 系统经非奇异变换，在新状态空间系统的结构特性会不会受到影响呢？ 1．系统特征值的不变性 系统的特征多项式为： 那么在任意一个状态空间中参数 不变，系统的 特征值不变，系统的动态特性也不发生变化。 回答是：不会！ 2．系统传递函数（输入输出关系）的不变性 这使我们在系统分析与系统综合时可以放心地利用线性变换这一手段。通过状态空间线性变换，在一些特定的状态空间，能方便地揭示系统的某些特性或者给系统分析、综合带来极大方便。 表明一个系统在不同的状态空间其输入输出关系不发生变化，这一点是显然的，因为状态空间的线性变换只涉及系统内部表达形式的改变，系统的外特性并没有改变。 后面还会讨论到另外一些特性（能控性、能观性）也不发生变化。 但应注意的是，在新的状态空间完成系统分析或综合工作后，一般应该将分析或综合结果重新变换回