线性系统理论课件Chapter.ppt

第七章 数学基础：多项式矩阵理论 7.1 多项式矩阵 7.9 互质性 7.2 奇异和非奇异 7.10 列次数和行次数 7.3 线性相关和无关 7.11 既约性 7.4 秩 7.12 史密斯形 7.5 单模矩阵 7.13 波波夫形 7.6 初等变换 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.7 埃尔米特形 7.15 小结和评述 7.8 公因子和最大公因子 7.1 多项式矩阵 多项式：d(s) = dmsm + dm-1sm-1 + … + d1s + d0 di(i = 0，1，… ，m)?R，s?C； 若dm?0，则称d(s)的次数为m，记为deg d(s) = m； dm称首系数，若dm=1，称d(s)为首1多项式。 多项式矩阵：元为多项式的矩阵。 Q(s)行列式 = detQ(s) = 多项式 有理分式域：包括所有有理分式的集合，常记成R(s)。 7.2 奇异和非奇异 行数等于列数的方多项式矩阵Q(s)，如果其行列式为有理分式域上的零元，即detQ(s) ? 0，则称Q(s)是奇异的，反之，是非奇异的。 例： 7.3 线性相关和线性无关 有理分式域上，当且仅当存在一组不全为零的多项式a1(s)，a2(s)，… ，am(s)，使 a1(s)q1(s) + a2(s)q2(s) +… + am(s)qm(s) = 0 则称p维多项式向量q1(s)，q2(s)，… ，qm(s)为线性相关的；若仅当a1(s)=0，a2(s)=0，… ，am(s)=0时上式才成立，则称q1(s)，q2(s)，…，qm(s)为线性无关的。 向量表示：称多项式向量组q1(s)，q2(s)，… ，qm(s)为线性相关，当且仅当存在p维多项式向量a(s) ? 0，使成立 [q1(s) q2(s) … qm(s)]a(s) = 0 反之，如果仅当a(s) = 0时上式才成立，称多项式向量组q1(s)，q2(s)，… ，qm(s)为线性无关。 7.4 秩 秩的定义 称m?n多项式矩阵Q(s)的秩为r，r? min(m，n)，如果至少存在一个r?r的子式不恒等于零，而所有等于和大于(r+1)?(r+1)的子式均恒等于零，记rankQ(s) = r。 几点推论 1 ? rankQ(s) ? min(m，n)； rankQ(s)=r等价于Q(s)有且仅有r个列(行)向量为线性无关； Q(s)为满秩，当且仅当rankQ(s) = min(m，n)； Q(s)为降秩，当且仅当rankQ(s) min(m，n)； 7.5 单模矩阵 单模阵定义 方多项式矩阵Q(s)称之为单模阵，当且仅当其行列式det Q(s)是独立于s的一个非零常数。 例： 其它推论 若Q(s)为单模阵，则Q(s)必是非奇异的。但是，反命题一般不成立； 任意两个同维的单模阵的乘积阵也必为单模阵； 单模阵Q(s)的逆矩阵Q-1(s)也一定是单模阵； 方多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性之间，存在如下对应关系 Q(s)为奇异?不存在一个s?C，使成立det Q(s)?0； Q(s)为非奇异?对几乎所有s?C，使成立det Q(s)?0； Q(s)为单模阵?对所有s?C，使成立det Q(s)?0。 7.6 初等变换 初等矩阵：三种初等变换对应三种初等矩阵 单模变换和初等变换 定义7.8 m?n多项式矩阵Q(s)，m?m多项式矩阵R(s)和n?n多项式矩阵T(s)为任意单模阵，称R(s)Q(s)，Q(s)T(s)，和R(s)Q(s)T(s)为Q(s)的单模变换 7.7 埃尔米特（Hermite ）形 埃尔米特形：设Q(s)的秩为r，则其埃尔米特形 埃尔米特形的算法 7.8 公因子和最大公因子 公因子和最大公因子定义 方多项式矩阵R(s)为具有相同列数的两个多项式矩阵N(s)和D(s)的一个右公因子，如果存在 和 ，使 最大公因子的性质 结论7.13 gcrd不唯一性：设R(s)为具有相同列数p的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd，W(s)为任一p维单模阵，则W(s)R(s)也必是D(s)和N(s)的一个gcrd。 结论7.14 gcrd的广义唯一性：设R1(s)和R2(s)是多项式矩阵D(s)和N(s)的任意两个gcrd，则当R1(s)为非奇异(单模)时，R2(s)也为非奇异(单模) 。 结论7.15 gcrd为非奇异的条件：给定p?p和q?p的多项式矩阵D(s)和N(s)，当 时，D(s)和N(s)的所有gcrd都必是非奇异的。 7.9 互质性 右互质和左互质 称两个具有