正态分布在实际生活中的应用.doc

《概率论与数理统计》 论文 正态分布在实际生活中的应用 正态分布在实际生活中的应用 摘要： 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的 概率分布，在 统计学的许多方面有着重大的影响力。其密度函数为：，由μ、σ决定其性质。生产与 科学实验中很多 随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗 压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。 关键词：正态分布 实际应用 预测 正文： 正态分布（normal distribution）又名 高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的 概率分布，在 统计学的许多方面有着重大的影响力。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其 曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布的密度函数 ： f(x)为与x对应的正态曲线的纵坐标高度； μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置 σ为总体标准差决定了分布的幅度； π为圆周率，即3.14159； e 为自然对数的底，即2.71828。 我们通常所说的 标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征： 1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为 对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、 中位数、 众数相同，均等于μ。 6、σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。 7、3σ原则：P（μ-σX≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σX≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σX≤μ+3σ）=99.7% 正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影。对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布。也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态。 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常。这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布。 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况。这是反向推导的过程。 生产与 科学实验中很多 随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗 压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的 年降水量；以及 理想气体 分子的速度分量，等等。 例如测试智力问题： 　　理查德·赫恩斯坦 [（Richard J. Herrnstein 1930.05.20－1994.09.13），美国比较 心理学家]和默瑞（Charles Murray）合著《正态 曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布。以某校的入学新生的智力测试为例： 假设某校入学新生的智力测验平均分数与方差分别为100与12。那么随机抽取50个学生，他们智力测验平均分数大于105的概率？小于90的概率？ 本例没有常态分配的假设，还好中心极限定理提供一个可行解，那就是当随机样本长度超过30，样本平均数x近似于一个常态变量，因此标准常态变量Z = (x–μ) /σ/ √n。 平均分数大于105的概率p = p(Z (105 – 100) / (12 /√50))= p(Z 5/1.7) = p( Z 2.94) = 0.0016. 平均分数小于90的概率p = p(Z (90 – 100) / (12 /√50))= p(Z 5.88) = 0.0000. 理查德·赫恩斯坦和默瑞他们利用应募入伍者的测试结果证明，黑人青年的智力低于白人和 黄种人；而且，这些人的智力已经定型，对他们进行培训