裂项放缩证明数列不等式.doc

  1. 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
PAGE PAGE 4 策略一、裂项放缩证明数列不等式 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1-1、(2006年全国I理-22压轴题)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明: 解:(I),解得: 所以数列是公比为4的等比数列,所以:得: (其中n为正整数) (II) 所以: 例1-2、(2006年湖北理-17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m; 分析:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5. 当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 () (Ⅱ)由(Ⅰ)得知==, 故Tn===(1-). 因此,要使(1-)()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10. 例1-3、(2004理重庆理-22压轴题)设数列满足 (Ⅰ)证明对一切正整数成立;(Ⅱ)令,判定与的大小,并说明理由 简析:本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 (I)证法一:当不等式成立. 综上由数学归纳法可知,对一切正整数成立. 注:用数学归纳法(只考虑第二步); 证法二:当n=1时,.结论成立. 假设n=k时结论成立,即 当的单增性和归纳假设有 所以当n=k+1时,结论成立. 因此,对一切正整数n均成立. 证法三:由递推公式得 上述各式相加并化简得 证法四: 则. (II)解法一: 解法二: I I 解法三: 故. 变式1:已知n∈N*,求 证明:因为 则,证毕。 变式2:已知且,求证:对所有正整数n都成立。 证明:因为,所以,又, 所以,综合知结论成立。 策略二、迭代放缩证明数列不等式 例2、(2006年浙江理-20压轴题)(14分)已知函数f(x)=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线y=f(x)在(xn+!,f(xn+!))处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点直线平行(如图)。求证:当n∈N*时(Ⅰ)(Ⅱ) 分析:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻 辑推理能力。 证明:(Ⅰ)因为f′(x) = 3x2 + 2x 所以曲线 y = f (x)在 (xa+1, f (xa-1))处的切线斜率 ka+1 = 3xa+12 + 2xa+1 . 因为过(0,0)和(xa, f (xa))两点的直线斜率是xn2 + xn . 所以 xn2 +xn = 3xa+12 + 2xa+1 (Ⅱ)因为函数h (x) = x2 + x 当x 0时单调递增, 而 xn2 +xn = 3xa+12 + 2xa+1 ≤4xa+12 + 2xa+1=(2xa+1)2 + 2xa+1 所以 因此 又因为 令 ya = xa2 + xa. 则 因为y1 = x12 + x1 = 2, 所以 . 因此 . 故 策略三、调整分式值放缩证明数列不等式 一个分式若分母不变分子变大则分式值变大,若分子不变分母变大则分式值变小;一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大(“加糖不等式”)姐妹不等式:和 例3-1、(2006年福建理-22压轴题)已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足4b1-14 b2-2…4 bn-1=( a+1)bn (n∈N*),证明:{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:(n∈N*). 分析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。 (I)解:∵an+1=2 an+1(n∈N),∴an+1+1=2(an+1), ∴| an+1| 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列。∴an+1=2n,即an=2n-1(n∈N)。 (II)证法一:∵4b1-14 b2-2…4 bn-1=(a+1)bn, ∵4k1+k2+…+kn =2nk,∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1

文档评论(0)

ligennv1314 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档