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策略一、裂项放缩证明数列不等式
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例1-1、(2006年全国I理-22压轴题)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:
解:(I),解得:
所以数列是公比为4的等比数列,所以:得: (其中n为正整数)
(II)
所以:
例1-2、(2006年湖北理-17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
分析:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3 , b=-2,
所以 f(x)=3x2-2x.又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
例1-3、(2004理重庆理-22压轴题)设数列满足 (Ⅰ)证明对一切正整数成立;(Ⅱ)令,判定与的大小,并说明理由
简析:本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
(I)证法一:当不等式成立.
综上由数学归纳法可知,对一切正整数成立.
注:用数学归纳法(只考虑第二步);
证法二:当n=1时,.结论成立.
假设n=k时结论成立,即
当的单增性和归纳假设有
所以当n=k+1时,结论成立.
因此,对一切正整数n均成立.
证法三:由递推公式得
上述各式相加并化简得
证法四:
则.
(II)解法一:
解法二:
I
I
解法三:
故.
变式1:已知n∈N*,求
证明:因为
则,证毕。
变式2:已知且,求证:对所有正整数n都成立。
证明:因为,所以,又,
所以,综合知结论成立。
策略二、迭代放缩证明数列不等式
例2、(2006年浙江理-20压轴题)(14分)已知函数f(x)=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线y=f(x)在(xn+!,f(xn+!))处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点直线平行(如图)。求证:当n∈N*时(Ⅰ)(Ⅱ)
分析:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻
辑推理能力。
证明:(Ⅰ)因为f′(x) = 3x2 + 2x 所以曲线 y = f (x)在 (xa+1, f (xa-1))处的切线斜率
ka+1 = 3xa+12 + 2xa+1 . 因为过(0,0)和(xa, f (xa))两点的直线斜率是xn2 + xn .
所以 xn2 +xn = 3xa+12 + 2xa+1
(Ⅱ)因为函数h (x) = x2 + x 当x 0时单调递增,
而 xn2 +xn = 3xa+12 + 2xa+1 ≤4xa+12 + 2xa+1=(2xa+1)2 + 2xa+1
所以 因此
又因为 令 ya = xa2 + xa. 则
因为y1 = x12 + x1 = 2, 所以 .
因此 . 故
策略三、调整分式值放缩证明数列不等式
一个分式若分母不变分子变大则分式值变大,若分子不变分母变大则分式值变小;一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大(“加糖不等式”)姐妹不等式:和
例3-1、(2006年福建理-22压轴题)已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足4b1-14 b2-2…4 bn-1=( a+1)bn (n∈N*),证明:{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:(n∈N*).
分析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。
(I)解:∵an+1=2 an+1(n∈N),∴an+1+1=2(an+1),
∴| an+1| 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列。∴an+1=2n,即an=2n-1(n∈N)。
(II)证法一:∵4b1-14 b2-2…4 bn-1=(a+1)bn,
∵4k1+k2+…+kn =2nk,∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1
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