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合肥工业大学 误差理论与数据处理 第6章 回归分析 本章主要阐述回归分析的基本概念,并重点介绍一元线性回归和非线性回归的基本方法,给出回归方程的方差分析和显著性检验。从而使学生掌握回归分析方法的基本原理,学会从实际测量中寻求两个变量和多个变量之间的内在关系。 教学目标 回归分析的基本概念和主要内容 一元线性回归方程的求法 回归方程的方差分析和显著性检验 一元非线性回归方法 重点与难点 第一节 回归分析的基本概念 一、函数与相关 函数关系:可以用明确的函数关系式精确地表示 出来 相关关系:这些变量之间既存在着密切的关系, 又不能由一个(或几个)自变量的数 值精确地求出另一个因变量的数值, 而是要通过试验和调查研究,才能确 定它们之间的关系。 第一节 回归分析的基本概念 二、回归分析思路 1、由数据确定变量之间的数学表达式-回归方程或经 验公式; 2、 对回归方程的可信度进行统计检验; 3、 因素分析。 第二节 一元线性回归 一元线性回归:确定两个变量之间的线性关系,即 直线拟合问题。 一、回归方程的确定 例:确定某段导线的电阻与温度之间的关系: 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 46.5 50.0 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 散点图: 20 25 30 35 40 45 50 76 78 82 80 84 第二节 一元线性回归 从散点图可以看出:电阻与温度大致成线性关系。 设测量数据有如下结构形式: 式中, 分别表示其它随机因素对电阻值 影响的总和。 思路:要求电阻y与x的关系,即根据测量数据要求出 和 的估计值。根据测量数据,可以得到 7个测量方程,结合前面所学,未知数有两个, 而方程个数大于未知数的个数,适合于用最小 二乘法求解。 第二节 一元线性回归 设得到的回归方程 残差方程为 根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式,令 第二节 一元线性回归 则误差方程的矩阵形式为 对照 ,设测得值 的精度相等,则有 将测得值分别代入上式,可计算得 第二节 一元线性回归 其中 二、回归方程的方差分析及显著性检验 第二节 一元线性回归 问题:这条回归直线是否符合y 与x之间的客 观规律?回归直线的预报精度如何? 对N个观测值与其算术平均值之差的平方 和进行分解; 从量值上区别对N个观测值的影响因素; 用F检验法对所求回归方程进行显著性检 验。 方差分析法 第二节 一元线性回归 (一)回归方程的方差分析 1、引起变差的原因: A、自变量x取值的不同; B、其它因素(包括试验误差)的影响。 2、方差分析 总的离差平方和(即N个观测值之间的变差) 可以证明: 第二节 一元线性回归 S=U+Q 其中 U—回归平方和,反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。 Q—残余平方和,反映所有观测点到回归直线的残 余误差,即其它因素对y变差的影响。 第二节 一元线性回归 (二)回归方程显著性检验— F检验法 基本思路:方程是否显著取决于U和Q的大小,U越 大,Q越小,说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F 对一元线性回归,应为 查F分布表,根据给定的显著性水平 和已知的 自由度1和N-2进行检验: 若 回归在0.01的水平上高度显著。 第二节 一元线性回归 回归在0.05的水平上显著。 回归在0.1的水平上显著。 回归不显著。 (三)残余方差与残余标准差 第二节 一元线性回归 残余方差:排除了x 对y的线性影响后,衡量y 随机波动的特征量。 残余标准差: 含义: 越小,回归直线的精度越高。 第二节 一元线性回归 (四)方差分析表 来源 平方和 自由度 方差 F 显著性 回归 残余 1 N-2 - 总计 N-1 - - - 三、重复试验情况 1、重复试验的意义 “回归方程显著”:只表明因素x的一次项对y的影响 显著;难以确定影响y的是否还有其它不可忽略的 因素?x和y是否线性? 不表明该方程拟合得很好。 为检验一个回归方程拟合的好坏,可通过重
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