概率论与数理统计复习总结题.docx

概率论与数理统计复习题 （仅供复习参考） 1．设为两随机事件，， 求：（1）；（2）；（3）。 解：（1）由减法公式：，得； （2）由加法公式：； （3）由对偶律及对立事件定义：。 2．设为两随机事件，，， （1）若，求； （2）若互不相容，求； （3）若相互独立，求。 解：（1） ； （2）由互不相容，得， ； （3）由相互独立，得也独立，则。 3．已知，，，求。 解：根据条件概率及乘法公式，有： ，； 从而。 4．设，且事件两两互斥， 求：（1）；（2）。 解：（1）由互斥，得，所以； （2）由两两互斥，满足概率的有限可加性，所以 。 5．对任意一组事件，证明 （1）； （2）。 证明：（1） 因为，所以 ； （2）由(1)知，，根据数学归纳法，假设 ，则 ，结论成立。 6．设三事件相互独立， 证明：（1）与相互独立；（2）与相互独立。 证明：因为相互独立，所以有 （1） ， 即与相互独立， （2） 即与相互独立。 7．玻璃杯成箱出售，每箱20只，其中有0、1、2个次品的概率分别为0.8、0.1、0.1．顾客在购买时任选一箱，开箱任取4个察看，如果未发现次品就买下该箱，否则退回．试求 （1）顾客买下该箱的概率； （2）顾客买下的该箱中确实没有次品的概率。 解：令{该箱内有件次品}，{顾客买下该箱玻璃杯}， （1）由全概率公式: ； （2）由贝叶斯公式： 8．设随机变量的分布律为：，且， 求：（1）常数；（2）。 解：（1）由分布律的规范性：， ， 联立得：； （2）。 9．设随机变量的分布函数， 求：（1）常数；（2）的密度函数；（3）。 解：（1）由，得； （2）； （3）。 10．设连续型随机变量的分布函数为， 求：（1）常数；（2）密度函数；（3）。 解：（1）由，得 ； （2）； （3）。 11．设随机变量的密度函数为，， 求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）确定常数，使。 解：（1）由得，得 ； （2） ； （3），得 。 12．设随机变量的概率密度为 求：（1） 常数；（2）分布函数；（3） ； （4）令，求的概率密度。 解：（1）由，得 ； （2）； （3）； （4）由，得的可能取值区间为，且在上是严格单调的，故反函数存在，解得， 由公式可得 13．一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品。每次从中取1件产品检验质量，不放回抽样，连续两次。定义随机变量和如下： ， 求：（1）的分布律；（2）的边缘分布律； （3）；（4）的分布律。 解：（1）由题意的可能取值：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1) ，得联合分布表如下： 0 1 0 1 （2）的边缘分布律为：， ， （3） ， （4）由 得的分布律为： 。 14．设二维随机变量的联合分布律为 求：（1）和的分布律；（2）。 解：（1）将与的取值及概率列表如下： 通过合并整理，分别求得和的分布律为 （2） 。 15．设随机变量，且与相互独立， 证明：。 证明：由，其分布律分别为 。 16．设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）的分布函数和密度函数；（2）。 解：（1）由的取值区域，可知的取值区间为。 当时，有． 当时，有 综上求得的分布函数为 求导得到密度函数为 （2） 。 17．设随机变量，并且，求：（1）的全部可能取值，并计算；（2）。 解：（1） 由已知条件得， ， 于是，， 的全部可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， ； （2）。 18．设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知， 求：（1）常数；（2）令，求；（3），求。 解：（1） 的分布律， 由，得 ，即，得 ； （2）； （3）。 19．设随机变量的概率密度为 求：（1）；（2） ；（3）令，求。 解：（1） ； （2） ， 于是，； （3）。 20．设随机变量的联合密度函数为 ， 求：（1）常数的值； （2）及。 解：（1）由得； （2） ， 因为 ， 所以。 21．设二维离散型随机变量的联合分布律为