离散数学第五章--函数.ppt

a a a a a a a abcdefghijklmnopqrst mapping set and and a a A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZA B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 可数集与不可数集 则易见， g : [0, 1]?(0, 1)是双射 g(x) = 1/2 , 当 x = 0 , 1/(n+2) , 当 x = 1/n, x , 其他。 从而 (0, 1) 具有连续统势。 可数集与不可数集 (3) R 具有连续统势吗？ 制作双射 σ: (0, 1)?(-π/2, π/2 ) 制作双射 τ: (-π/2, π/2 ) ?R 则得双射 τ☉σ: (0, 1) ? R 因为 (0, 1) 具有连续统势， 所以 R 具有连续统势。 -π/2 π/2 0 1 π/2 -π/2 0 第六章 集合的基数   第二节 集合基数的比较 基数的比较 1. 设 A 和 B 是任意集合 (1) 若存在从 A 到 B 的双射， 则说 A 与 B 有相同的基数， 记为 ︱A︱= ︱B︱ (2) 若存在从 A 到 B 的单射， 则说 A 的基数小于或等于 B 的基数， 记为 ︱A︱≤︱B︱ (3) 若︱A︱≤︱B︱，但 ︱A︱≠︱B︱， 则说 A 的基数小于 B 的基数， 记为 ︱A︱＜︱B︱ 基数的比较 2. 三歧性定理 对任何集合 A 和 B 来说， ︱A︱＝︱B︱，  ︱A︱＜︱B︱，  ︱B︱＜︱A︱，恰有一个成立。 基数的比较 3. “反对称性”定理 对任何集合 A 和 B 来说，如果 ︱A︱≤︱B︱， 且 ︱B︱≤︱A︱，  则 ︱A︱＝︱B︱。 基数的比较 4. ︱(0, 1)︱＝︱[0, 1]︱＝︱[0, 1)︱＝︱(0, 1]︱ (1) ︱(0, 1)︱＝︱[0, 1]︱? 作映射 f1 : (0, 1) ?[0, 1] , f1(x)=x 。 易见，f1 是单射。所以 ︱(0, 1)︱≤︱[0, 1]︱。 作映射 f2 : [0, 1] ?(0, 1) , f2(x)=x/2 + 1/4 。(x 的一半再加一点点，比如 1/4 , 1/7 , 3/100 等等，使得 0 能够被射入 (0, 1) ) 易见， x1 ≠x2 时，x1/2 + 1/4 ≠ x2/2 + 1/4 , f2(x1) ≠f2(x2) , f2 是单射。所以 ︱[0, 1]︱≤︱(0, 1)︱。 综合以上可知，︱(0, 1)︱＝︱[0, 1]︱。 基数的比较 (2) ︱[0, 1]︱＝︱[0, 1)︱? 作映射 g1 : [0, 1] ?[0, 1) , g1(x)=x/2 。 易见，g1 是单射。所以 ︱[0, 1]︱≤︱[0, 1)︱。 作映射 g2 : [0, 1) ?[0, 1] , g2(x)=x 。 易见，g2 是单射。所以 ︱[0, 1)︱≤︱[0, 1]︱。 综合以上可知，︱(0, 1)︱＝︱[0, 1]︱。 基数的比较 (3) ︱[0, 1)︱＝︱(0, 1]︱? 作映射 h1 : [0, 1) ?(0, 1] , h1(x)=x/2 + 1/1000。 易见，h1 是单射。所以 ︱[0, 1)︱≤︱(0, 1]︱。 作映射 h2 : (0, 1] ?[0, 1) , h2(x)=x/2 。 易见，h2 是单射。所以 ︱(0, 1]︱≤︱[0, 1)︱。 综合以上可知，︱[0, 1)︱＝︱(0, 1]︱。 基数的比较 (3) ︱[0, 1)︱＝︱(0, 1]︱? 直接构造双射 h : [0, 1) ?(0, 1] h (x) = 1, 若 x=0 x, 其