曲线积分与格林公式总结.docVIP

. . 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量? 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为?(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn(?si也表示弧长); 任取(xi , hi)??si, 得第i小段质量的近似值?(xi , hi)?si; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}?0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, ? ? ?, Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)?si, (i=1, 2,? ? ?, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l?0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即. 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn, 并用?si表示第i段的弧长; 在每一弧段?si上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}, 如果当l?0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中?(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数? 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 ? 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ? 特别地? 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y)? 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为 x?j(t), y?y (t) (a?t?b), 则质量元素为 , 曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (a?t?b), 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一阶连续导数, 且j?2(t)+y?2(t)?0, 则曲线积分存在, 且 (ab). 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(a?x?b), 则=? 提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(a?x?b), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(c?y?d), 则=? 提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c?y?d), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a?t?b), 则=? 提示: . 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.