初高中衔接教材之因式分解.docVIP

. . 初高中衔接教材之因式分解 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 ． 1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式： （1）2（y－x）2+3（x－y） （2）mn（m－n）－m（n－m）2 2．十字相乘法 例2 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4） 3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法） 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 例3　把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）． 当堂反馈： 1．填空： （1）（ ）； （2） ； (3 )　 ． 2．分解因式： （1）5（x－y）3+10（y－x）2 （5）8a3－b3； （6）x2＋6x＋8； （7） （8）； 　 4．在实数范围内因式分解： （1） ； （2）； （3）； （4）． 5．分解因式：x2＋x－(a2－a)． 初高中衔接教材之一元二次方程 第1课时 根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 【当堂反馈】 1、方程的根的情况是 。 2、若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 。 3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 5.已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 第2课时 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有： ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么 x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 以两个数x1，x2为根