求数列通项公式的八种方法.docVIP

. . 求数列通项公式的八种方法 一、公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法 1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一：由得则 所以 解法二：两边除以，得， 则，故 因此， 则 2、累乘法 适用于： 若，则 两边分别相乘得， 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 三、待定系数法 适用于 分析：通过凑配可转化为; 解题基本步骤： 1、确定 2、设等比数列，公比为 3、列出关系式 4、比较系数求， 5、解得数列的通项公式 6、解得数列的通项公式 例4 已知数列中，，求数列的通项公式。 解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即 解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的…… 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即 解法二： 两边同时除以得：，下面解法略 注意：例6 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得， 所以 由，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 注意：形如时将作为求解 分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得或，不妨取， 则，则是首项为4，公比为3的等比数列 ，所以 四、迭代法 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。 注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 五、变性转化法 1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式 例9 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：因为，所以。 两边取常用对数得 设 （同类型四） 比较系数得， 由，得， 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。 2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例10 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：求倒数得为等差数列，首项，公差为， 3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则 代入得 即 因为， 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 。 六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由及，得 由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。 （1）当时，，所以等式成立。 （2）假设当时等式成立，即，则当时， 由此可知，当时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 七、阶差法 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。 例13 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。 解：∵对任意有 = 1 \* GB2 ⑴ ∴当n=1时，，解得或 当n≥2时， ⑵ = 1 \* GB2 ⑴-⑵整理得： ∵各项均为正数，∴ 当时，，此时成立 当时，，此时不成立，故舍去 所以 2、对无穷递推数列 例14 已知数列满足，求的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得 则 故 所以 ③ 由，，则，又知，则，代入③得。 所以，的通项公式为 八、不动点法 不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。 分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。 类型一：形如 例 15 已知数列中，，求数列的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1 ∴，…… 类型二：形如 分析：递归函数为 （1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴ （2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。