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平面向量及常见题型 向量知识点 ☆零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 ☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1 ☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量 ☆向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”． ☆实数与向量的积： ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 ☆两个向量共线定理： 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= ☆平面向量的基本定理： 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ☆平面向量的坐标运算： 若，则， 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则， ☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  ☆两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 ☆向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ☆向量的模与平方的关系： ☆乘法公式成立： ； ☆向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 补充： 线段的定比分点 经典例题 例1．已知是所在平面内一点，为边中点，　 且，那么（　　） Ａ．　　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ． 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．　　解： 　　　　. 故选A． 例2．在平行四边形中，，M为BC的中点，则______.（用表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 　解：由得，，所以。 例3．如图所示，D是△ ABC的边AB上的中点，则向量(　 )　 　（A）　　 （B）　　　（C）　　　 （D） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.　　 解：，故选A. 例4.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足 且顺时针旋转后与同向，其中，则（　 ） （A）　　　　　　　（B）　　（C）　　　　　　　 （D）　命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.　　常规解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.　　巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D. 点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决. 例5．设向量与的夹角为，且，，　　　　　　 则　　　　_． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.　　解:设，由　　　　得 　∴时，，故填 例6．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且　　（），过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．　　（Ⅰ）证明为定值；　　（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．　　命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.　　解：　　(Ⅰ)由已知条件，得，．　　　　设，，则，．　　　　由，得即　 　　　　将（1）式两边平方并把，代入得　　（3）　　　　解（2）（3）式得，，且有，　　　　抛物线方程为，求导得．　　　　所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，　　　　即，．　　　　解出两条切线的交点M的坐标为即．　 　　　　∵，　　　　所以　　　　所以为定值，其值为0．　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，，，　　　　因而．　　　　　　　因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，　　　　所以　　　　于是，　　　　由知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4． 向量常见题型 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量，满足且满足，则的夹角为 2.已知非零向量满足，则的夹角为 3.已知平面向量满足且，则的夹角为 4.设非零向量、、满足，则 5.已知 类型（二）：向量共线问题 已知平面向量，平面向量若