二次函数基本概念_图像及性质.docx

二次函数基本概念，图像及性质 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c( a,b,c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的 二次函数 . y O x 函数 y ax 2 2．二次 bx c 的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 3．二次函数的基本形式 2 (1)二次函数基本形式： y ax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a 的 符 开口方向 顶点坐标 对 称 性质 号 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 a 0 向上 0，0 y 轴 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 a 0 向下 0 ，0 y 轴 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ． y ax2 c 的性质：上加下减。 开 a 的 口 顶 点 对 称 符号 方 坐标 性质 轴 向 向 0，c x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的 a 0 y 轴 上 0 时， y 有最小值 c ． 增大而减小； x 向 0 ，c x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的 y 轴 a 0 下 增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ． 2 y a x h 的性质：结论：左加右减。 开 对 口 a 顶 点 性质 方 称 坐标 向 轴 向 h，0 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大 a 0 上 X=h h 时， y 有最小值 0 ． x 向 h，0 x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大 a 0 下 X=h h 时， y 有最大值 0 ． x 2 (4) y a x h k 的性质： 开 对 a 的 口 顶 点 性质 符号 方 称 坐标 向 轴 向 h，k x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 a 0 上 X=h x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ． 向 h，k x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 a 0 下 X=h x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ． 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① ⑤  y ax2 ；② y ax2 k ；③ y a x h 2 ；④ y a x h 2 k ； y ax2 bx c . 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ax2 x 0 （ y 轴） （ 0,0） y ax2 k x 0 （ y 轴） (0, k ) 当 a 0 时 h 2 x ( h ,0) y a x h 开口向上 y a x h 2 k 当 a 0 x h ( h , k ) 时 y ax2 bx c 开口向下 x b b 4ac b 2 2a ( 2a ， 4a ) 5.二次函数图像与性质： 函 二次函数 数 y ax2 bx c(a, b, c是常数， a 0) a0 a0 y y 图 像 （ 1）抛物线开口向上，并向 （ 1）抛物线开口向下，并向下无限延 上无限延伸； 伸； b b （ 2）对称轴是 x= 2a ，顶 （ 2）对称轴是 x= 2a ，顶点坐标是 b b 4ac b 2 点坐标是（ 2a ， （ 2a ， 4a ）； 4ac b2 b 4a ）； （ 3）在对称轴的左侧， 即当 x 2a 时， （ 3）在对称轴的左侧，即当 y 随 x 的增大而增大； 在对称轴的右侧， 性 b b 质 x 2a 时， y 随 x 的增大而 即当 x 2a 时，y 随 x 的增大而减小， 减小；在对称轴的右侧，即 简记左增右减； b b 当 x 2a 时， y 随 x 的增大 （ 4）抛物线有最高点，当 x= 2a 时， 而增大，简记左减右增； 4ac b 2 （ 4）抛物线有最低点， 当 x= y最大值 4a b y 有最大值， 2a 时 ， y 有最小值， y最小值 4ac b 2 4a 6．用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： y ax2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择 一般式 . （2）顶点式： y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （ 3 ）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ，通常选用交点