哈尔滨工业大学 05 结构力学——平面有限元2.ppt

结构力学II ? 3、单元刚度特性公式 ? 正方形母单元 ? ? ? 三角形母单元 ? 1 5 2 6 3 4 积分线要有所改变 ? 对于边界表面力的等效荷载的微分弧长应视不同边界而异 ? 5-5-4 数值积分 ? 等参元的单元刚度矩阵和等效结点荷载的计算公式中被积函数是十分复杂的，很难用精确积分得到显式(解析)积分结果。因而要采用数值积分方法，即在单元内选出某些点(称为积分点)，算出被积函数在这些点处的值，再分别乘以权系数，然后以求其和作为积分的近似值。 数值积分方法很多，在有限元分析中通常采用高斯积分法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可以节省计算时间。 ? 1、一维高斯积分 高斯积分点的座标 高斯积分点的加权系数 高斯积分点的函数值 ? 2、二维高斯积分 方形域 三角域 5-5-5 注意事项 ? 1、Jacobi行列式等于零，将使等参元分析失效。 ? 经 映射的单元边界发生严重扭曲。 ? 正方形母单元映射成三角单元。 ? 某角点处映射后单元边界的切线夹角接近180?。 导致Jacobi行列式等于零的可能原因： ? 结构离散过程中避免出现单元过分畸形 避免出现Jacobi行列式等于零的措施： 边界单元过分畸形 退化成三角形 角点切线夹角接近180? ? 3、根据变换 可知母单元中的点在子单元中的位置。但无法从子单元中的点确定其在母单元中的位置。 2、母单元中边点是等距离分布的，在子单元划分确定边线结点位置时也应尽量等距离分布 4、当子单元网格划分的边界结点位于两角点连接线上时，映射后子单元的此边界将为一直线。但沿边界所求得的位移并不一定是线性变化的（因为结点位移并不一定在一条直线上）。 5-5-6 计算实例 ? 见130页例题 5-5-7 二维和三维计算程序简要说明 ? 阅读光盘介绍 §5-6 Wilson非协调元* ? 理论和计算经验表明，单元的计算精度取决于单元位移模式中所包含的完全多项式的次数，而非完全的高次项一般不能提高精度。 Wison E提出一种构造非协调元的方法，对提高等参元计算精度和计算效率很有指导意义。 5-6-1 双线性单元计算纯弯曲问题误差 ? 考察受纯弯曲作用单元 ? ? ? ? 精确解 反映了纯弯曲应力 ? 采用双线性单元，其位移解 ? ? ? ? 应力解 不是纯弯曲应力 导致误差的原因是位移模式中缺少x2和y2项 5-6-2 Wilson非协调元 ? 为提高精度，Wilson提出在位移场中附加内部无结点的位移项 附加位移参数向量，是单元内部自由度 ? ? 消去单元内部自由度 经过凝聚处理的这种非协调元精度有显著提高。 5-6-3 Wilson非协调元的收敛性 ? 不同单元的位移参数 是不同的，因此这种单元的位移是不协调的，其收敛性不能得到保证。可是已经证明非协调元满足一定条件下，结果是收敛的。 由于 在 和 边界上分别为： *哈工大 土木工程学院 第五章 平面问题有限元分析 土木工程学院 结构力学学科组 HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY §5-5 平面等参数单元 对于曲线边界问题，矩形或三角形单元不仅精度低，而且必然产生离散误差。如果通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将使未知量数目剧增。为了提高精度减少未知量，本节介绍一种工程有限元分析中广泛应用的等参数单元 [简称等参元(isoparametric element)] ? 等参元的基本思想是： 首先建立规整形状单元[称为母单元(mother element)]的形函数； 然后用母单元形函数和实际单元的结点坐标根据坐标映射确定所划分单元的几何形状，这个实际划分的单元称为“子单元”(mapping element)； 利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的位移场。 进而利用势能原理进行一定的数学推导，建立等参元的单元刚度方程 ? 5-5-1 基本概念 1、实际单元几何形状的描述－图形变换 以任意四边形为例来说明概念 ? 1(x1,y1) 2(x2,y2) 3(x3,y3) 4(x4,y4) 子单元 1 1 1 1 1 2 3 4 母单元 ? 母单元的形函数 由结点座标映射出与（? , ? ）点对应的任意一的（x , y）座标的对应关系 子单元内任意一点的座标矩阵 结点座标矩阵 子单元结点座标矩阵 母－子座标间的变换形式矩阵 母元形函数矩阵 ? 由此得到结论 1、由母元形函数性质可知，母元结点座标通过映射可得到子单元结点直角坐标； ? 2、母元中的某条座标线通过映射可得到子单元中的一条斜直线； 3、母元中正交座标轴映射的子单元的一个斜角座标系 。斜角座标系是固定于子单元