Black-Scholes期权定价模型培训课件.ppt

从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求： 10=e-0.1×0.25×[11p+9(1-p)] P=62.66%。 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求： 10=e-0.15×0.25×[11p+9(1-p)] P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。 * * 前文的两个重要结论 股票价格服从对数正态分布 风险中性定价原理 * * black－Scholes期权定价公式 金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： （3） 其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率μ。 要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利率应用无风险利率，因此， * * 对式（3）的右边求值是一个积分过程，求得： N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率）。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 * * * μ是瞬态期望漂移率， * Black-Scholes期权定价模型 * * Black-Scholes期权定价模型的基本思路 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。 金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。 * * 为什么要研究证券价格所遵循的随机过程? 期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。 * * 随机过程 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。 随机过程的分类 离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量 * * 几种随机过程 标准布朗运动（维纳过程 ） 起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。 设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征： 特征1： 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。 特征的理解 特征1： 特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 * * 标准布朗运动（续） 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形： z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量 又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt 。 很显然，这是n个相互独立的正态分布的和： 因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δt =T，标准差为 。 为何定义为： 当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 连续时间的标准布朗运动：