第一节 导数的概念.ppt

第一节 导数的概念 一、问题的提出 两个问题的共性: 二、导数(derivative)的定义 3. 求导举例 4. 单侧导数 5. 导数的几何意义与物理意义 三、可导与连续的关系 三、可导与连续的关系 四、小结 思考与练习 思考与练习 连续函数不存在导数举例 O 例1 例2 O 1 例3 0 1 1/π －1/π 例4 此种题型必须先考虑连续性得到一个关系式 ,再由可导得到另一个关系式 , 联立求解参数. 分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求. 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 区别: 联系: 注意: 证 解 由夹逼准则得 解 练习题答案 * 一、问题的提出 二、导数的定义 三、可导与连续的关系 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 例 瞬时速度问题 设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度. t0 到 t 的平均速度为 故在 t0 时刻的瞬时速度为 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 如图, 如果割线MN绕点M移动而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 1.定义 1、 2、 关于导数的说明： 注意：导数定义实质上是函数在 x0 关于 ?x 的 增量 ?y 与自变量的增量 ?x 之比的极限 ，于是 定义可改写为： 特别地 按定义求导数的步骤为： 1) 解 2) 解 更一般地 例如, 3) 解 4) 解 5) 求函数 的导数. 解 例1 原式 是否可按下述方法作: 例 设 存在,求极限 解: 原式 2) 右导数 (right – hand derivative) 1) 左导数 (left – hand derivative) 定理 例2 解 例3 解 1) 几何意义 切线方程为 法线方程为 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 例2 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 切线方程: 法线方程: 曲线在点 处的 切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 . 解 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的 切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 处有垂直切线 例 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 2) 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 例：如何用导数表示速度，线密度，功率，加速度， 角速度等量。 定理 若函数在某点处可导,则函数在该点处连续. 证 定理 若函数在某点处可导,则函数在该点处连续. 若函数不连续，则一定不可导. 注意: 该定理的逆定理不成立,即连续函数不一定可导. (连续是可导的必要不充分条件.) * *