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2.2 函数的值域与最值
求值域的常用方法
1、观察法 2、反函数法 3 、分离常数法 4、配方法 5、判别式法
6、单调性法 7、基本不等式法 8、数形结合法 9、换元法
例题： 1、直接观察法： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例 1 求函数的值域（ 1）y = （2 ）y = 3 - x
x
2 、配方法： 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一， 利用二次函数的有关性质、图象作出分析，
2
特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)] + b f(x) + c (a ≠0)
的函数的值域与最值
2 2
例 2 、求函数的值域 （1）y= x -2x+5 ，x [-1 ，2] （2 ）y = sin x - 6sinx + 2 （3）y=cos2x-6sinx+2
2
ax bx c
3 、判别式法 一般地，求形如 y = 2 的有理分式函数的值域，可把原函数化
Ax Bx C
成关于 x 的一元二次方程： f(y)x 2 2
+g(y)x+ ψ(y) = 0,根据方程的判别式 Δ＝g (y) - 4f(y) ψ(y) ≥0
求出 y 的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：
⑴在 Δ≥0中，应考虑 “＝ ”能否成立；
⑵由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为 R；
⑶f(y) ≠0，应验证 f(y) ＝0 的情况。否则用 “判别式法 ”求出的值域与最值是不可靠的。
2
1 x x
例 3 求函数 y = 的值域。
2
1 x
4、反函数法： 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3 x 4
例 4 求函数 y= 值域。
5 x 6
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